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逆行列
逆行列の証明です。 わかる方、教えてください。 ｎ次元のベクトル、x_1～x_k (1≦k≦n)は１次独立であると仮定したとき、（g(αβ)）＝x_α ・ x_β （注…xは太字で表していませんがベクトルなので、右辺はもちろん内積です。ちなみにここでの添字α,βはベクトルの要素を表すのではなく、ベクトルの番号を表します） を(α,β)要素とするようなk次の正方行列Ｇ＝（g(αβ)）を考える。 このとき、Ｇの逆行列Ｇ(-1)＝（g(αβ)）(-1)が必ず存在することを証明してください。 ーーーーーー おそらく行列式を用いて証明するのでしょうが、はじめの１次独立という仮定をうまく利用できません。２次形式を用いてみたら？というアドバイスもいただいたのですが、こっちのほうがもっと手付かずです。 どなたかわかる方、書き表し方が見にくくてすみませんが教えてください。 あと、（g(αβ)）(-1)は（g(αβ)）の逆行列です。
- chacco29
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- aquarius_hiro
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こんにちは。 ベクトル x_α の第i成分を、x_αi とおきます。 x_α = (x_α1, x_α2, .... x_αn) x_αi を α行i列成分とする行列を X とおきます。 x_α が一次独立なら、det X ≠ 0 です。 また、 G = XX^{t} ですね。 det G = det(XX^t) = detX・detX^t = (detX)^t ですが、 det X≠0 なので、det G ≠ 0 ですね。 ゆえに、G の逆行列が存在します。
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お礼のお返事が遅くなって申し訳ありません。 大変助かりました！ ありがとうございました。