行列

質問

n次の実対称行列は、固有値に重複度があってもn個の線形独立なベクトルがあることの証明をお願いします。

回答No.9

alice_44

←A No.4
ああ、これは目鱗。
確かに、「線形独立な固有ベクトルがある」とは書いてなかった。
「線形独立な列ベクトルがある」も、どーかとは思うけど。

←A No.7
これは恐縮。
P がユニタリになるのは、A がエルミートだからでした。
一般には、単に正則行列。御指摘のとおりです。

回答No.8

Tacosan

ああ, 確かに質問が不正確ですね＞#4. そして, (ある意味当然とはいえ) そのことに質問者が気づいていない....

#4 は「固有ベクトル」については何一つ触れていません.

回答No.7

eclipse2maven

>No.2

>一般に、複素正方行列 A に対して
>あるユニタリ行列 P が存在して、
>(P^-1)AP がジョルダン標準形になります。

Pってユニタリー？　正則行列では？　　

G=KAK　って　カルタン分解からして、両方のKは独立だから、連動してるなら次元が全然足りないと思うけど　（　G=GL(n,C） K=U(n) A=対角行列）

ちがうかな？　ジョルダンの標準形でPをユニタリーに出来ましたっけ？

回答No.6

eclipse2maven

＞No.4さん

固有ベクトルで張られる部分空間がR~nになるということです。　一般には小さい場合もあって、一般化れた固有空間までひろげないと等しくならない（この場合がジョルダンの標準形）。

ゼロ行列の場合　R^nのすべての元が固有値０の固有ベクトル。従って標準基底をとってくればいいですよね。

回答No.5

eclipse2maven

行列AのA-不変部分空間W　あったら　その直交補空間は　tA (Aの転置)ー不変にになります。

でも　対称行列だから　直交補空間も　A－不変になります。

線形写像は　固有値に対しては　０でない固有ベクトルは存在します。これで生成される部分空間は明らかに　Aー不変ですから、その直交補空間は　Aー不変です。これで、基本的には次元に関してinduction（数学的帰納法） が使えます。　Aを直交補空間に制限したところで、また対称行列になるよなことをうまくいってあげないといけませんが。。。

回答No.4

ramayana

勘違いだったらごめんなさい。

質問は、

「Aがn次の実対称行列なら、Aのn個の列ベクトル（or行ベクトル）が一次独立である」

ことを証明しろ、というように読めます。もし、そうなら、「」内の命題は嘘です（Aがゼロ行列のこともあるから）。

お礼

ありがとうございます。
たぶん0じゃないです

回答No.3

Tacosan

結局のところ「対角化は既知」とするか「ジョルダン化は既知」とするかは違っても, 「それらがなぜ可能なのか」について全く触れていないという点では似たり寄ったりではないかと＞#2. 一般的には (ジョルダン化はできても) 対角化できるとは限らないので, どちらかというとジョルダン化の方がよりプリミティブかもしれません... とはいえ, ジョルダン標準形ってどこまで知られているんでしょうかね.

いずれにしても, 質問に直接答えてなかったりしますが, まあここまでわかっていればあとは簡単でしょう (と投げっぱなし).

お礼

ありがとうございます

回答No.2

alice_44

一般に、複素正方行列 A に対して
あるユニタリ行列 P が存在して、
(P^-1)AP がジョルダン標準形になります。
P はユニタリなので、P^-1 = P^* です。
P^-1 は P の逆行列、
P^* は P の転置共役行列を表すとします。

J = (P^-1)AP の両辺の転置共役を取ると、
J^* = ((P^-1)AP)^*
= ((P^*)AP)^*
= (P^*)(A^*)(P^*^*)
= (P^-1)(A^*)P となります。

A が実対称であれば、A^* = A を満たすので、
J^* = (P^-1)AP = J が成り立ちます。

ジョルダン標準形の成分表示を思い出すと、
それがエルミート (J^* = J) になるのは
J が実対角行列である場合だけだと判ります。
よって、(P^-1)AP = J は A の対角化です。
ついでに、固有値が全て実数であることも示せました。

←No.1
ジョルダン化を既知とするのは、マズイですかね？

お礼

ありがとうございます

回答No.1

Tacosan

(実直交) 行列で対角化できるから.

お礼

ありがとうございます