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対称行列の固有ベクトル
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- kup3kup3
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こんばんは。 以下 参考にしてください。スペクトル分解と関係ありそうな感じ 対称行列というとふつう実対称行列を指します。今 (1)Aをn次の実対称行列とすると、異なる固有値λ1,λ2に対応する 固有ベクトルは互いに直交します。Aの異なる固有値を λ1,λ2,・・・、 λkとすると一般にk≦nです。 (2)実対称行列は、(実)直交行列で、対角化できます。 つまり、適当な(実)直交行列P をとって、( P^(-1)=P^t ) P^(-1)AP=D(α1,α2,・・・αn) ここにα1,α2,・・・αnはAの 重複を許した固有値で、D(α1,α2,・・・αn)は対角線上に上から α1,α2,・・・αnが並んだ対角行列です。そして α1,α2,・・・αnは全体としてλ1,λ2,・・・、λkのダブりをゆるしたものです。 これから A=PD(α1,α2,・・・αn)P^(-1)=PD(α1,α2,・・・αn)P^t (実)直交行列Pの成分の列ベクトルが全てを固有ベクトルからとれると できるのだろうけれどもそこが今一つできないですー ともかく X1,X2などの固有ベクトルはうまくとり直さないとダメだと思います。 (1)を証明しておきます。AX1=λ1X1、 AX2=λ2X2,X1,X2は 0ベクトルでなく λ1≠λ2とする。Aは実対称行列だから、 (AX1,X2)=(X1,AX2)となる。これは (λ1X1,X2)=X1,λ2X2)⇔λ1(X1,X2)=λ2(X1,X2)よって (λ1-λ2)(X1,X2)=0 ここで λ1≠λ2により(X1,X2)=0 よって X1とX2とは直交します。
- 33550336
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条件が足りないのでは? 単位行列は対称行列であるがその固有ベクトルは直交しません。
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