- 締切済み
行列の固有ベクトルについて質問です
対称行列を対角化するにあたって，対称行列の固有ベクトルについて次のように教科書に記述があります． 「対称行列の異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交する」 この記述によれば，異なる固有値から得られる固有ベクトルは必ず互いに直交しますが，固有値が重解となったときに同じ固有値から2つの固有ベクトルが得られる問題がありました． このとき，この得られた2つの固有ベクトルは互いに直交していないのでしょうか？ つまり，「同じ固有値から得られた固有ベクトルは絶対に直交しない」のでしょうか？ わかりにくい質問ですが，どなたか詳しい回答よろしくお願いします．
- kousentarou
- お礼率85% (6/7)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
こういうのはシンプルな具体例で考えるといいのです 固有値が重解になってるもので一番シンプルなのは 単位行列Eでしょう 単純に二次単位行列をEとしましょう ＃det(E-tE) = (1-t)^2だから明らかに固有値は1で重解 明らかに(1,0)と(0,1)が固有値1に対応する 固有ベクトルであり直交しています． ということで >同じ固有値から得られた固有ベクトルは絶対に直交しない そんなことはないのです さてさて・・・ 固有値が重解だということは その固有空間が1次元以上あるかもしれないということです （固有値の（代数的）重複度は固有空間の次元そのものではなく上限を与える）． ＃固有値が重複度2以上であっても，固有空間が1次元ってことはあります ＃たとえば， ＃(0 1)は固有方程式は (-t)^2=0 で固有値0は重解 ＃(0 0) ＃固有空間はx軸(y=0)で1次元 ＃ ＃（代数的）重複度と固有空間の次元（幾何学的重複度という）と ＃対角化可能性には関係があります だから，固有ベクトルで一次独立なものが二つ以上とれた場合は， 固有空間の次元は2以上であって，数ベクトル空間の場合は かならず正規直交基底があるのだから， とろうと思えば直交するものがとれるのですよ． ＃グラム・シュミットの直交化が使える
関連するQ&A
- 行列の固有値、及び直交化問題
(1)対称行列の固有値は、なぜ実数なのですか? (2)対称行列を対角化する行列は、直交するベクトルで構成された行列に限られるのでしょうか？だとしたら、それはなぜですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列演算： 固有ベクトルの解法
現在、対称行列の固有値、固有ベクトルを求めるプログラムを作成し、つい最近完成しました。 しかし、とても使い物にならないプログラムになってしまいました。 理由はとても遅いのです。 解法の手順として、まず固有値を求めてから固有ベクトルを求めるようと考え、入力の対称行列をHouseHolder法により三重対角行列に変換し、それをQR法により対角化してまず固有値を求めました。 固有値を求めることができたので、次に固有ベクトルを求めます。手順として、固有値ごとに入力対称行列の対角成分から固有値を減算した行列をＬＵ分解し、連立一次方程式を解くように固有ベクトルを求めていきます。 この一連の手順で、対称行列の固有値、固有ベクトルを求めることができたのですが、とても時間がかかってしまいます。 ただし、対称行列の固有値を求めるまでの時間はとても高速です。 ５００×５００の行列の固有値、固有ベクトルを求めるのに３０分はかかってしまいますが、その中で固有値を求める時間は２秒しかかかりません。 つまり今固有値がわかっている状態で、固有ベクトルを高速に求めたいと考えています。 なにか高速に固有ベクトルを求める方法（アルゴリズム）はあるでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトルについて
行列の固有ベクトルについてです。 固有値が2重解の場合、固有ベクトルはどう求めますか？ １ －１ １ －１ １ １ －１ －１ ３ の場合、固有値は１と２。２が重解である。 固有値が２のとき、固有ベクトルが ｘ＝ｃ１（－１ １ ０） ＋ ｃ２（１ ０ １） 質問：この固有ベクトルはどう求めるか？ ２ －１ １ ０ １ １ －１ １ １ の場合、固有値は２と１．１が重解である。 固有値が１のとき、固有ベクトルが ｘ＝ｃ１（１ １ ０） 質問：固有値が重解なのに、なんで固有ベクトルは1つしかいないか？ この場合、固有ベクトルはどう求めるか？ お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトルについて
線形代数を勉強しています。 ある行列の固有ベクトルが、異なるものが二つ存在したとします。 その固有ベクトルは必ず互いに直交しますか？ テキストには直交する例のみ載っているのですが、 直交しない場合も想像出来るので、悩んでおります。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトルについて
行列の固有ベクトルについてです。 固有値が2重解の場合、固有ベクトルはどう求めますか？ なんで、ある場合は固有値が2重解なのに、固有ベクトルは1つしかありませんか？ 例： １ －１ １ －１ １ １ －１ －１ ３ と ２ －１ １ ０ １ １ －１ １ １
- 締切済み
- 数学・算数
- 固有ベクトルの逆行列が存在しない？
行列A= (０，１，１） (１，０，１） (１，１，０） の固有値と固有ベクトルを求める(ただし各固有ベクトルの最大の成分は1となるようにする) 問題なのですが， 固有値λ＝－1(重解)，2 と求め 固有ベクトルをそれぞれ x=(x1，x2，x3)=(１，－1/2，－1/2)，(１，１，１） と求めたのですが， 対角化行列P= (１，１，１) (１，-1/2，-1/2) (１，-1/2，-1/2) の行列式が0になってしまいPの逆行列が存在しないことになってしまいます。 これはどこかで計算ミスをしているのでしょうか？ それとも固有ベクトルに逆行列が存在しないことはあるのでしょうか？ 自分ではこれ以上見直しても分からないので 教えてくださると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列固有値問題
Aは、3×3行列で、3つの固有値のうち2つが同じ(1組が重解)で、もう一つが異なる解、つまり固有値λ1、λ2、λ3で λ1=λ2 λ3≠λ1 の場合、 Aが対称行列ではないもの具体例を示して下さい。また、その具体例の行列を対角化する行列Pも示して下さい。 この時、求める最小多項式は重解はないものとします。 つまり、(A-λ1E)(A-λ3E)=0 をみたし、 対角化した行列は、λ1=λ2、λ1≠λ3で [λ1 0 0] [0 λ2 0] [0 0 λ3] になります。 このようなAでなおかつ対称行列でないものをあげて欲しいのですが、存在しますか? 対称行列だったら、いくつか列があったのですが、そうでない具体例が知りたいのです。
- 締切済み
- 数学・算数
