行列の固有ベクトルについて

質問

線形代数を勉強しています。
ある行列の固有ベクトルが、異なるものが二つ存在したとします。
その固有ベクトルは必ず互いに直交しますか？

テキストには直交する例のみ載っているのですが、
直交しない場合も想像出来るので、悩んでおります。

回答No.2

noname#221368

線形代数の本って、大概こんな感じだと思います・・・、

　　　(第一部)ベクトル空間→線形写像（行列の導入）→行列式論→固有値論→「ジョルダンの標準形」

　　　(第二部)内積（双対空間）→計量空間→「2次形式論」

　上記で「」部分は省略されるかも知れません。また上記の第一部と第二部は、勝手につけましたが、いちおう独立した話として扱う事も可能です。

　ベクトルの直交性を言うためには、まず内積を定義する必要があります。そういう訳で、どんな場合に固有ベクトルが直交するかは、(第二部)に入るまで、いちおうお預けです。

　異なる固有値に属する固有ベクトルは独立ですが、ご想像の通り、

　　・独立だからと言って、直交するとは限らない．

　　・でも直交すれば、独立になるは言える．

という状況です。でも独立な固有ベクトルの例としては、直交するケースが一番わかりやすいですよね？。それに直交する固有ベクトルの実用性が、一番高いんです。それで(第一部)の例としても良く引かれて、同じ例が(第二部)に再登場するなんて事は、良くあります。

　直交しない独立な固有ベクトルをたやすく想像できるなら、たぶんそれは正しいんですよ(^^)。

お礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど、今はまだ出てきていないのですが、
これから出てくる可能性があるのですね。
完全に理解するまでは前に進めない性格なので、
立ち止まってしまっておりました。

わたしのテキストはジョルダンの標準形までしか出ていないので、
双対空間などについても載っているテキストで勉強してみたいと思います。

回答No.1

kabaokaba

適当な二次正方行列でやってみればいい．

大学の数学は自分で具体例をつくって計算しないとだめ．
大学の数学は与えられた教科書一冊だけ見てればいいってものでもない．

＃異なる固有値に対する固有ベクトルが直交するには
＃それなりの条件があるんだが，教科書にはでてないのか？
＃でてないなら・・・教科書に問題ありだと思うのだが

お礼

ありがとうございます。
残念ながら、今のところ教科書には出ていないのです。
でも先々出てくる可能性もあるかなと期待しています。