3×3行列の固有値と固有ベクトル

質問

以下の行列Aの固有ベクトルを求めようとしているのですが,解を見つけられないでいます.
2　1　0
1　2　0
0　0　-2
計算を進めた結果,固有値λは3,1,-2となり,λ=3,1に対応する固有ベクトルはそれぞれ[1,1,0]t,[1,-1,0]tとなったのですが,λ=-2の場合で求めた固有ベクトル[1,1,k]t(kは任意の実数)がAx=λxに対応しない値になってしまいます.私の計算に何か問題があるのでしょうか?

また,行列Aは対称行列なのでそれぞれの固有ベクトルの内積は0になると思うのですが,固有ベクトルの値が得られないことと何か関係があるのでしょうか?

回答よろしくお願いします.

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞固有値をλ、
|2-λ,1,0|
|1.2-λ,0|
|0,0,-2-λ|=0
(2-λ)*(2-λ)*(-2-λ)+1*0*0+0*0*1-0*(2-λ)*0-(2-λ)*0*0-1*1*(-2-λ)
=-(2+λ)(λ^2-4λ+3)=0、λ=-2,1,3
λ=-2の場合
|2+2,1,0|
|1,2+2,0|
|0,0,-2+2|
だから|A-λE|*(x,y,z)=0は
|4,1,0||x|
|1,4,0||y|
|0,0,0||z|=0
4x+y+0z=0
x+4y+0z=0
0x+0y+0z=0
x=y=0、z=t(任意の実数)
よって固有ベクトルはt*(0,0,1)
λ=1の場合
|1,1,0| |x|
|1,1,0| |y|
|0,0,-3||z|=0
x+y=0、-3z=0
x=t,y=-t,z=0
よって固有ベクトルはt*(1,-1,0)
λ=3の場合
|-1,1,0||x|
|1,-1,0||y|
|0,0,-5||z|=0
-x+y=0
x-y=0
-5z=0からx=y=t、z=0
よって固有ベクトルはt*(1,1,0)
固有ベクトルの内積
＞t*(0,0,1)・t*(1,-1,0)=0
t*(0,0,1)・t*(1,1,0)=0
t*(1,-1,0)・t*(1,1,0)=0

お礼

お返事が遅れてしまいました。すみません。
λ=-2の時の計算をミスしていたようです。計算過程のご指摘ありがとうございました。

他のお二方も回答有難うございました。

回答No.2

info222_

>λ=-2の場合で求めた固有ベクトル[1,1,k]t(kは任意の実数)がAx=λxに対応しない値になってしまいます.私の計算に何か問題があるのでしょうか?

λ=-2の場合、計算すると固有ベクトルは[0,0,1]t となるはずです。
計算ミスをしていませんか？

>固有ベクトルの内積は0になると思うのですが,
>固有ベクトルの値が得られないことと何か関係があるのでしょうか?
あるでしょう　→　つまり計算ミスをしていて正しい固有ベクトルではないからでしょう。

正しい固有ベクトル[0,0,1]t を使えば、他の２つの固有ベクトルとの内積はゼロになります。

回答No.1

Tacosan

はい, あなたの計算に何か問題があります.