行列の固有ベクトルの問題

質問

3X3行列T (0 1 0)
　　　　　 　(0 0 1)
　　　　　　(-2 1 2)

がある。
行列Tの固有ベクトルを求めよ。ただし、各固有ベクトルは、第1成分を1とするものを求めよ。

次に
3X1 行列（3）
　　　　　　（2）
　　　　　　（6）
を求めたTの固有ベクトルの線形和の形で表せ。

という問題です。

私は固有ベクトルが
（1）　　　（1）　　　（1）
（1）　　　（-1）　　（0.5）
（1）　　　（1）　　　（1）

と求まりましたが、これは
　　　　　　（3）
　　　　　　（2）
　　　　　　（6）
を表せないのではないかと思いますが。
どこか計算ミスをしたのですか？

ご指導を待っております！お願いします！

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

(0 1 0 ) (x) (λx)
(0 0 1 ) (y) = (λy)
(-2 1 2) (z) (λz)

y = λ*x …式1
z = λ*y = λ^2 * x …式2
-2*x + y + 2*z = λ * z

-2 * x + λ * x + 2 * λ^2 * x = λ * λ^2 * x

-2 * x + λ * x + 2 * λ^2 * x = λ^3 * x
(-λ^3 + 2 * λ^2 + λ - 2) * x = 0

x ≠ 0 だから

(-λ^3 + 2 * λ^2 * x + λ * x - 2) = 0

λ^3 - 2 * λ^2 * x - λ * x + 2 = 0
λ^2 * (λ - 2) - (λ - 2) = 0
(λ^2 - 1) * (λ - 2) = 0
で
(λ + 1) * (λ - 1) * (λ - 2 ) = 0

固有値と対応するベクトルは式1,式2から求まり、式3もちゃんと同時に満たす。

固有値1 : (x,y,z) = (1,1,1)
固有値-1 : (x,y,z) = (1,-1,1)
固有値2 : (x,y,z) = (1,2,4)

の3つ。最後のやつがおかしいんですね。

お礼

ご解答ありがとうございます！
さっきから出した答えずっと一緒だったのに、今ちょっとやったら
やはり固有値2 : (x,y,z) = (1,2,4)で合ってますね！