- ベストアンサー
正則でない行列の固有値・固有ベクトル
複数のデータを取得し、それらのデータを用いて「主成分分析」を行うプログラムを実装しようと考えています。そこで、取得したデータから共分散行列を生成し、固有値・固有ベクトルを求めたいのですが、固有値が0になってしまう部分に対応する固有ベクトルは当然求められないですよね。 「ある正方行列Aが正則である必要十分条件は、Aが固有値0を持たないこと」を知りました。 取得した任意の値を成分にもつ行列が正則になるなんて限らないので、この場合は主成分分析は出来ないのですか？それとも、主成分分析では固有値が0になる部分は始めから考えなくていいのですか？どうか教えてください。
- pyon_kero
- お礼率37% (11/29)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
主成分分析の方でどうなっているかは知りませんが, そんなことを一切忘れて純粋に「固有値 0 に対する固有ベクトルが求まるかどうか」だけなら「求まる」というのが答え.
その他の回答 (1)
- FT56F001
- ベストアンサー率59% (355/599)
あやふやな知識ですが，共分散行列の固有値は，正か0のようです。 主成分分析では，大きな固有値成分が重要なので, 固有値のうち，大きい方からいくつかだけ求まれば目的は達成され， それ以下の固有値が小さな正値だろうと0だろうと， 分析できないゴミとして捨てるのではないかしら?
お礼
早速のご回答、ありがとうございます。うやむやが晴れました。
関連するQ&A
- 共分散行列の固有値・固有ベクトルの行列
以下のようなデータを用いて、共分散行列を生成するとします。 (各No.にはそれぞれx1~x5の5つのデータ) x1 x2 x3 x4 x5 No.1 [2 4 5 2 1] No.2 [3 10 8 7 9] No.3 [11 3 2 1 6] すると、共分散行列は3×3の正方行列になり、その固有値も3つ求まりますよね。 しかし、固有ベクトルに関してはデータがx1,x2,..,x5と5次元で考えているので、 ひとつの固有値に対して5つの成分を持つ固有ベクトルが求まりますよね。 よって、共分散行列の固有値行列は必ず正方行列になりますが、固有ベクトルの 行列は上の例の場合なら5×3行列（列は対応する固有値の数、行はベクトルの成分の数）となり、 必ずしも正方行列にはなりませんよね？そのあたりを教えて頂きたいと思います。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 固有値と固有ベクトルが既知のときの行列
３次の正方行列 A について次の条件が成り立つとする． | 1| | 0| |－1| は固有値 1 の固有ベクトルである． | 1| |－1| | 0| は固有値 －1 の固有ベクトルである． |2| |0| |1| は固有値 0 の固有ベクトルである． このとき以下の問に答えよ． (1) A を求めよ． (2) A を対角化する行列 P と対角行列 P^－1AP を求めよ． (2)は固有ベクトルをPとすれば，１次独立だからPが正則となり答えが分かるのですが，(1)をどのように出すか分かりません．ご教授お願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則行列Aの固有値、固有ベクトルを求めたいです。
正則行列Aの固有値、固有ベクトルを求めたいですが途中で分からなくなってしまいました。 A = ( 3 2 -2) (-2 -2 1) (1 2 -2) 自分では －（λ^3-λ^２-λ+3) まで計算しましたが、あっているでしょうか？ 固有値が求められません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 固有値展開の元の行列と固有ベクトルの関係
ある正方行列Aが固有値展開により A=EVE(H) に分解できるとします。(H)はエルミート転置。 VはAの固有値成分の対角行列、Eは対応する固有ベクトルを列とする行列とします。 このときEを構成するベクトルek(k=1～K)は ある程度Aの成分と対応するのでしょうか？ 表現しにくいのですが例えば Aが8×8行列のときK=8でe1～e8まであるとして、その中の一部 e1～e4はAの(1,1)から(4,4)までの部分行列の固有値展開に近い値になるのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 主成分分析の固有ベクトルの求め方
今、3×3行列の主成分分析をしているのですが、どうしても固有ベクトルがうまく求められません。2×2行列の固有ベクトルは公式が導かれているのですが、3×3行列はよく分かりません。 ゴリゴリに計算をするしかないのでしょうか？よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 対角化可能と固有ベクトル
Ｐの逆行列をＰ^(-1)とします。このとき、P^(-1)ＡＰ＝Ｄ（対角行列）を満たす正則行列Ｐを具体的に与え、P^(-1)ＡＰが何になるかを示しつつ、Ｐが正則行列になる理由、P^(-1)ＡＰがそのような形になる理由を説明し、 以上の点を踏まえ、n次正方行列Ａがn個の線形独立な固有ベクトル a_1,・・・・a_n（固有値はp1,・・,pn）を持てば、Ａは正則行列により対角化可能であることの証明です。 上記証明なのですが、どう進めていけばいいのかわかりません。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有値と対角化
次の行列Aの固有値と固有ベクトルを求め、正則行列Pをもとめよ。 A＝ ０ １ －２ －３ で｜A-λE|＝ －λ １ －２ －３－λ より －λ（－３－λ）＋２＝３λ＋(λ＾2)＋２ ＝(λ＋１)(λ＋２) よってλ＝－１、－２ λ＝－1に属する固有ベクトルは ｙ＝－ｘより(ｘ、ｙ)＝α(１、－１) λ＝－２1に属する固有ベクトルは ｙ＝－２ｘより(ｘ、ｙ)＝β(１、－２) これより正則行列Pは １ １ －１ －２ になると思ったのですが、答えを見ると １ －１ －１ ２ とありました。どうしてでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 主成分分析と、共分散行列について
現在、取得したデータから主成分分析を行うプログラムを実装しています。 扱うデータは、 [変数] x1 x2 x3 ・・・ xn [No. 1] 1 2 5 ・・・ 11 [No. 2] 3 5 10 ・・・ 8 ・ ・ [No. N] 4 6 35 ・・・ 9 のように次元となる変数x1～xnに対してそれぞれ値を取得し、x1～xnを一まとまりとした データ件数がNo.1～No. Nまでデータを取得するとします。 これらのデータを用いて共分散行列を生成し、固有値問題を解くことで主成分分析を行う のですが、ここで質問です。統計的に考えて、より精密に主成分分析を行うには、変数の 個数(n)に対して、データの個数(N)はどのくらい取るのが良いのでしょうか。因みに変数の数は 200程必要とします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数 行列 対角化
対角化について質問させて頂きます。 対角化とは、 「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な 対角行列に帰着させること。」 と説明がありました。 ここで、同値とは具体的にどのような内容を指すのでしょうか？ また、対角化を求める際、 正方行列Aに対してP^-1APとなる正則行列Pを求めます。 この正則行列Pは正方行列Aより求めた固有値に属する固有ベクトル を並べたものになりますが、これはなぜですか？ なぜ、固有ベクトルを並べたものが正則行列Pになるのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。参考にさせて頂きます。