• 締切済み

固有ベクトルは直交行列を構成するのか

  正則行列Aの固有ベクトルを列とする(または行とする)行列Pについて、Pは直交行列ですか。  

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

そうとは限らない.

関連するQ&A

  • 正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する?

    Aを正規行列とすると適当な対角行列Λと適当なユニタリ行列Uが存在してU^*・A・U=Λである λとμを異なる固有値として Uの列ベクトルでありλの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をPとし Uの列ベクトルでありμの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をQとしたとき PとQは直交しλの固有ベクトルはPの元でありμの固有ベクトルはQの元であるから「λの固有ベクトルとμの固有ベクトルは直交する」 上の証明について質問します (1)結論は正しいですか? 正しければ (2)証明に穴はありますか? あれば (3)どのように証明したらいいでしょうか?

  • 固有値と固有ベクトルが既知のときの行列

    3次の正方行列 A について次の条件が成り立つとする. | 1| | 0| |-1| は固有値 1 の固有ベクトルである. | 1| |-1| | 0| は固有値 -1 の固有ベクトルである. |2| |0| |1| は固有値 0 の固有ベクトルである. このとき以下の問に答えよ. (1) A を求めよ. (2) A を対角化する行列 P と対角行列 P^-1AP を求めよ. (2)は固有ベクトルをPとすれば,1次独立だからPが正則となり答えが分かるのですが,(1)をどのように出すか分かりません.ご教授お願いします.

  • 行列の固有値と対角化

    次の行列Aの固有値と固有ベクトルを求め、正則行列Pをもとめよ。 A=  0  1 -2 -3 で|A-λE|= -λ   1 -2 -3-λ より -λ(-3-λ)+2=3λ+(λ^2)+2 =(λ+1)(λ+2) よってλ=-1、-2 λ=-1に属する固有ベクトルは y=-xより(x、y)=α(1、-1) λ=-21に属する固有ベクトルは y=-2xより(x、y)=β(1、-2) これより正則行列Pは  1  1 -1 -2 になると思ったのですが、答えを見ると  1 -1 -1  2 とありました。どうしてでしょうか?

  • 行列の固有ベクトルについて質問です

    対称行列を対角化するにあたって,対称行列の固有ベクトルについて次のように教科書に記述があります. 「対称行列の異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交する」 この記述によれば,異なる固有値から得られる固有ベクトルは必ず互いに直交しますが,固有値が重解となったときに同じ固有値から2つの固有ベクトルが得られる問題がありました. このとき,この得られた2つの固有ベクトルは互いに直交していないのでしょうか? つまり,「同じ固有値から得られた固有ベクトルは絶対に直交しない」のでしょうか? わかりにくい質問ですが,どなたか詳しい回答よろしくお願いします.

  • 行列の固有ベクトルについて

    線形代数を勉強しています。 ある行列の固有ベクトルが、異なるものが二つ存在したとします。 その固有ベクトルは必ず互いに直交しますか? テキストには直交する例のみ載っているのですが、 直交しない場合も想像出来るので、悩んでおります。

  • 固有値が重複している行列の対角化

    線形代数の質問です。 二次行列Aを、ある正則行列Pを用いて(P^-1)APと対角化するときのPを一つ求めよ、という問題があります。ここで、Aの固有値が二つあれば固有ベクトルも二つ求まりそれらを並べることでPがわかりますが、固有値が一つしかない場合はどうしたらいいのでしょうか。 教科書の例題を見ると、A=[a1,a2](a1=[3,-1]、a2=[0,2])のとき、固有値はλ=3で、[λI-A]x=0よりx+y=0となり、固有ベクトルは[1,-1]となります。このあとどのようにして正則二次行列Pを求めればいいのでしょうか。 どなたか御回答よろしくお願いします。

  • 正則行列Aの固有値、固有ベクトルを求めたいです。

    正則行列Aの固有値、固有ベクトルを求めたいですが途中で分からなくなってしまいました。 A = ( 3 2 -2) (-2 -2 1) (1 2 -2) 自分では -(λ^3-λ^2-λ+3) まで計算しましたが、あっているでしょうか? 固有値が求められません。

  • 行列の固有ベクトルについて

    行列A = (2 1 1 ) の固有値を求めたらλ=3(三重解)になりました。       (0 3 0 )       (-1 1 4) この行列の独立な固有ベクトルとしてp1=(1 0 1) 及びp2=(1 1 0)をとりました。 更に行列Aをジョルダン標準形にするために p3=(0 1 0)をとって、変換行列 P = (p1 p2 p3)と その逆行列によって行列Aを変換したのですが、ジョルダン標準形になりませんでした。 ところが試しにp2 = (0 1 -1)としてみたところ、ジョルダン標準形に変換できました。 p2=(1 1 0) とすることと p2 = (0 1 -1) とすることの差はなんなのでしょうか。 どちらも独立な固有ベクトルのように思うのですが・・・

  • 【対称行列の固有ベクトル】

    【対称行列の固有ベクトル】 対称な行列の固有ベクトルは,完全に直交しますか?

  • 行列の固有値と固有ベクトルの証明が分かりません

    (1)2×2行列A=(a b c d)の固有値は x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0 の解で与えられることを証明せよ。 (2)(1)の行列Aが固有値α、β(α≠β)を持つとき α、βに対する固有ベクトルをそれぞれ2×1行列(p.q) (r.s)として 2×2行列P=(p.r.q.s) を作ると 2×2行列P-1AP=(α.0.β.0) なることを証明せよ。 という問題が分かりません。 調べてみたのですがよく分かりませんでした。 教えてください。