回転行列の固有ベクトルは？

質問

１．回転行列の固有ベクトルを計算したら、
（１、-i)になってしまいました。（固有値は exp(-iθ））
これって、あってますか？
（ノルムが０というのは、おかしいのでは？）

２．回転行列Aに対応するユニタリ行列の求め方がわかりません。
恐縮ですが、計算の方法をお教え下さい。
ｑ’＝UｑU†＝Aｑ　と置くのはいいでしょうか？

回答No.4

shiara · ベストアンサー

＞ｑは、任意の２元ベクトル
行列が作用する状態ベクトルと、位置ベクトルを混同しています。UｑU†と書いたときのｑは、行列です。これが位置ベクトルであるというなら、X、Yなどの位置座標の行列表示となります。ｑが状態ベクトルなら、シュレーディンガー表示の波動関数に対応するものです。
なお、回転行列Uはユニタリ行列です。

お礼

ありがとうございます。
よくわかりました。
＞回転行列はユニタリ行列です。
確かに、
U=　　cos(θ), sin(θ)
　　　-sin(θ), cos(θ)
U†＝cos(θ), -sin(θ)
　　　sin(θ), cos(θ)
とすると、U・U†は、
　　cos2(θ)+sin2(θ), 0
　　0 　　　cos2(θ)+sin2(θ)
になりました。
よく考えると、回転は内積を変えませんから、当たり前でした。

自分のブログにまとめましたので、よろしければ見て下さい。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/59649201.html
尚、独学のため間違いが多いとは思いますが、
「新理論」を作る輩では、ありません。
（まぁ、屁理屈は多いですが）

回答No.3

Jyaikosan

Uが2×2行列、ｑが2次元ベクトル(2×1行列)でしたら
Uｑも2次元ベクトル(2×1行列)ですよね。

これに右から2×2行列のU†をかけることは
行列の計算規則上できないと思います。

お礼

そうなんです。僕もそこがわからないのです。
この式は、量子力学の教科書ならまず載っている式です。
例えば　清水明「新版　量子論の基礎」ｐ127
で、ｐとｑに正準交換関係がある場合、
ｐが行列ならｑは普通の数（変数）にできます。
ｘ軸だけで考えると、ｑ＝ｘ　です。
したがって、ｘーｙ座標なら、
ｑ＝（ｘ、ｙ）
としないといけない　と思います。

回答No.2

Tacosan

ああ, １の固有ベクトルは OK ですね. すみません.
で２の方ですが, そもそも「回転行列Aに対応するユニタリ行列」というのが謎. 特に「対応する」でどのような意味を持たせたいのかが不明. A に対応して, どのような操作をしたいんでしょうか?

補足

量子力学では、物理量の変化は「すべてユニタリ変換」で表されます。
（変化しない場合は、単位行列というユニタリ行列）
したがって、「回転もユニタリ変換で表されるはず」
と考えた次第です。
であれば、回転に「対応する」ユニタリ行列があるはず
ではないでしょうか？

回答No.1

Tacosan

１ の方: 固有ベクトルは回転角度に依存しませんでしたっけ? あと, 複素ベクトルだからノルムの計算は実ベクトルと異なる方法を使うのが普通だと思います. つまり, 「全要素の絶対値の 2乗和」の平方根をとるのではないかな.
２ の方は q とか U が何を意味するのかわからんのでパス.

補足

回転行列Aは、以下としています（２次元）
　　cos(θ),　　sin(θ)
　　-sin(θ),　　cos(θ)

Uは、ユニタリ行列で、ｑは、任意の２元ベクトル
です。