3×3の行列 固有値 固有ベクトル

質問

以下の添付画像の問題にとりくんでいます。
まず対角化して、その後Aのn乗をもとめようとしていますが、固有ベクトルがうまく求められません。固有値が±√3の時は問題ないのですが、√3iのとき固有ベクトルがうまくでません。

私の計算ミスですか？それとも方針が違いますか？

どなたかこの問題の解き方をお教えください。

回答No.2

Tacosan

ん? 単に
x + y + z = √3ix
を代入しただけ.

お礼

解決しました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

x + y + z = √3ix,
x + ωy + ω^2z = √3iy,
x + ω^2y + ωz = √3iz
だから全部足して
3x = √3i(x+y+z) = -3x
より x = 0. つまり y+z=0 だから固有ベクトルが (0, 1, -1) と計算できますね.
別法としては, 「固有値が違えば直交する」ので, √3 と -√3 に対する固有ベクトルの外積を計算してもよいでしょう.

お礼

回答ありがとうございます。
ひとつわからないのですが、
3x=√3i(x+y+z)=-3x
の式の一番右側、"-3x"はどのように導かれたものなのでしょうか？