固有値 固有ベクトル

質問

固有値を求める場合の固有方程式について質問させて頂きます。

固有値と固有ベクトルの定義は、
n×n行列Aに対して、λ∈C，x∈C^nが
Ax=λx　｜x≠0
を満たすとき、λをAの固有値、xをλに対するAの固有ベクトルという。

固有値を求める際の固有方程式ですが、
私の手元にある参考書では、
｜λI-A｜=0とあります。
web等で調べると｜A-λI｜=0という表記もありました。
Iは単位行列を表します。

｜λI-A｜=0と｜A-λI｜=0はどちらも正しいのでしょうか？
また、なぜ等しくなるのか教えて頂けないでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

固有方程式の ｜ ｜ は、絶対値ではなく、行列式を表しています。
混乱するようなら、｜A-λI｜ の代わりに、det(A-λI) と書いてもよいでしょう。
det(sM) = (sのn乗) det(M) (ただし M は n×n 行列) ですから、
-｜A-λI｜ = ｜λI-A｜ が成り立つのは、A が奇数次の場合だけです。

お礼

いつもご回答ありがとうございます。

>-｜A-λI｜ = ｜λI-A｜ が成り立つのは、A が奇数次の場合だけです。
理解できました。本当にありがとうございましたm（_ _）m

回答No.6

alice_44

|sM| = (s^n)|M| は理解できたんですね？
そこへ M = A-λI, s = -1 を代入すれば、

n = 2 のとき
|λI-A| = |sM| = ((-1)^2)|M| = |M| = |A-λI|
n = 3 のとき
|λI-A| = |sM| = ((-1)^3)|M| = -|M| = -|A-λI|
です。

A No.3 補足では n が偶数の場合が理解でいないとのこと。
A No.5 補足では n が奇数の場合を計算ミスしているようですが、
疑問の点はどこにあるのでしょうか？

また、
|λI-A| = |A-λI| にせよ 、
|λI-A| = -|A-λI| にせよ、
|λI-A| = 0 と |A-λI| = 0 が同値になることに
変わりはありません。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ございません。

＞|λI-A| = 0 と |A-λI| = 0 が同値になることに
＞変わりはありません。
理解できました。すいません。ノートに自分で書き出すと
できました。

計算で一点わからない点があるのですが、
-|A-λI|= |λI-A|は成り立ちますよね？
固有方程式の｜｜は行列式を表すのですよね？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44

←A No.3 補足
う～ん？
|sM| = (s^n)|M| が理解できて、
|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI| は理解できない理由が想像つきません。
しかも、n の偶奇で理解不理解が変わる理由は何でしょう？

|sM| = s|M| ではなく |sM| = (s^n)|M| ですから、
M = A-λI, s = -1 を代入すれば、
|λI-A| = |sM| = (s^n)|M| = ((-1)^n)|A-λI| となります。
代入しただけです。

前述のとおり、
M のひとつの行を s 倍する毎に |M| は s 倍になるので、
n 本の行すべてが s 倍された sM は、行列式が s^n 倍です。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

お手数をお掛けしてすいません。

|sM| = (s^n)|M| は行列式の定義より理解できます。

|λI-A| = |sM| = (s^n)|M|=((-1)^n)|M|
nが2×2行列のとき、
|λI-A| |=((-1)^2)|M|=｜M｜
nが3×3行列のとき、
|λI-A| |=((-1)3)|M|=-｜M｜=|A-λI|

と考えているのですが、どこが間違っているのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

hitokotonusi

そもそも固有値問題って何でしたか？
xをベクトルとして

Ax = λx

を解くことでしょう？2×2にしてこれを成分・要素でかけば

A11 x1 + A 12 x2 = λ x1
A21 x1 + A 22 x2 = λ x2

という連立方程式を解くことですよね。

[1] 左辺に集めてしまえば、

(A11-λ) x1 + A 12 x2 = 0
A21 x1 + (A 22-λ) x2 = 0

意味のある解が存在するためには係数行列の行列式が0でなければならない(逆行列が存在するとx1 = 0, x2 = 0という解しかない)ので

|A - λI | = 0

[2] 右辺に集めてしまえば、

0 = (λ-A11) x1 - A 12 x2
0 = - A21 x1 + (λ-A 22) x2

同じく係数行列の行列式が0から

|λI - A | = 0

これで[1]と[2]で答えに差が出ると思いますか？

[2]にすると、行列式を計算したときにλ^2の係数が+1になるので、気分的に楽なんでしょうね。最近は[2]が増えてる気がします。

回答No.3

alice_44

一般に、n×n行列 M とスカラー s について、
行列式は |sM| = (s^n)|M| です。
行列のひとつの行を s 倍すると
行列式の値が s 倍になることを思い出しましょう。
sM は、M の n本の行が皆 s 倍されている訳です。

M = λI-A, s = -1 の場合を考えれば、
|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI| です。
よって、|λI-A| = 0 と |A-λI| = 0 は同値
ですね？

補足

いつもご回答ありがとうございます。

＞行列式は |sM| = (s^n)|M| です。
理解できます。

＞M = λI-A, s = -1 の場合を考えれば、
＞|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI| です。
nが偶数の場合は、|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI|が成り立つ点が
理解できません・・・
なぜ、|λI-A| = ((-1)^n)|A-λI|が成り立つのでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

Tacosan

n次行列 A とスカラー k に対し A の行列式 |A| と kA の行列式 |kA| との関係は?

回答No.1

entap

A,λIを三次正方行列あたりでとって、実際に計算して見ましょう。

λI-A = p　とします。

A　-λI = -p とします。

p　 = 0

-p = 0

どちらも同じ結果になりそうですよね。