行列の固有ベクトルの証明について

質問

はじめまして

テスト対策のプリントで出た問題なのですが

A,Bがn次行列で、B＝QAQ^(-1)を満たすn次正方行列Qが存在するものとするとき、λがAの固有値で、→xがその固有ベクトルであるとする。このとき、λはBの固有値でもあり、→y＝Q*→xはその固有ベクトルを示せ。

という問題で、前半の、λはBの固有値でもある、という部分は

｜B－λE｜＝｜QAQ^(-1)ーλE｜＝｜QAQ(-1)ーQλEQ(-1)｜＝｜Q(A－λE)Q^(-1)｜＝｜Q｜*｜A－λE｜*｜Q(-1)｜＝｜A－λE｜

からわかるんですが、後半の『→y＝Q*→x　はその固有ベクトルである』
という部分がわかりません。。

どのようにすればいいのでしょうか？？

よろしくお願いします

回答No.3

masuto84

固有ベクトルとは
（A-λE）x=0
となるベクトルｘのことです

B＝QAQ~-1であるので
（B-λE)Qx=(QAQ^-1-λE)Qx (Bに上式を代入）
=(QAQ^-1Q-λEQ)x (Qを括弧の中へ入れる）

ここで
Q^-1Q=E EQ=Q　　　（逆行列の定義）

また
λQ＝Qλ　　　　　　　（λは定数であるので）
より

（B-λE)Qx=(QA-Qλ)x
=Q(A-λE）x (Qを括弧の外へ）
=0 (xはAの固有ベクトルであるので）
となり
固有ベクトルの定義よりQxもBの固有ベクトルとなります

お礼

回答どうもありがとうございました。
丁寧に説明していただきとてもわかりやすかったです。
なるほど～…って感じでした。
どうもありがとうございました☆

回答No.2

koko_u

定義がわからなくなっている典型的なパターンですね。
高校の教科書とかだとどれが定義なのかよくわからなくなってるので困る。

行列 A の固有ベクトルの定義は Ax = λx となるλ∈R が存在するゼロでないベクトルのこと。
(固有値 λ が行列式 Φ(x) = |A - xE| = 0 の解となり、逆にΦ(x)の解ζに対して Ap = ζp なる固有ベクトル p が存在するのは導かれる一つの定理。)

だから y = Qx がゼロでないことも言及しないとダメさ。

お礼

はい定義のパターンがわからなくなっている、
典型的なパターンでした。。
回答どうもありがとうございました。
少しずつだけれど理解できたつもりです☆

回答No.1

killer_7

By=λy
を言えばいいので，
By
=QAQ^(-1)Qx
=QAx
=Q(λx)
=λQx
=λy.

お礼

すばやい回答どうもありがとうございました。
最終的にはBy=λyが言えればいいってことなんですよね？！
考えが及びませんでした。
どうもありがとうございました☆