行列で悩んでいます！
- 行列Pに対して最大固有値に対する長さ1の固有ベクトルxを求める問題です。
- また、行列Pに対してP'y = λy かつ x'y = 1 を満たすベクトルyを求める問題もあります。
- 質問者が求めたベクトルxとベクトルyの値が適切かどうか疑問に思っています。
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行列で悩んでいます！
0<p,q p+q=1という条件下で P=| p 1-p | | 1-q q | という行列Pに対して 行列Pの固有値はλ=0,1と算出できました。 最大固有値に対する長さ1の固有ベクトルxを求めよ。 という問題の『最大固有値』というのはλ=0,1の大きい方の1ということでいいのでしょうか？また、その結果計算して | x | = √1/2 | 1 | | y | | 1 | という答えを出しました。 最後に P'y = λy かつ x'y = 1 を満たすベクトルyを求めよ(『'』は転置、λはもう一つの固有値）という問題ですが、『λはもう一つの固有値というのは最初に求めたλ=0,1と先ほど使った最大固有値λ=1以外のλ=0で計算するということでしょうか？ とりあえず y=| A | | B | とおいて x=1/√2 | 1 | | 1 | ですが転置すると x'=1√2 | 1 1 | P'y = λyより pA+(1-q)B=0 (1-p)A+qB=0 ←ここが不安です。やはりもう一つの固有値λというのは0でいいのでしょうか、、、。 これを解いてp=q=1/2となりここでx'y=1を使っても答えがでません。 質問が多くてすみません。何かいい解き方はないでしょうか？ また、解答がないので私の解いた問題の間違いなどございましたらご指摘いただけますでしょうか？ よろしくお願いいたします。
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仮にyを「“λ=1に対する”P'の右固有ベクトル」とするならば、y=c(p,1-p)'ですので、x'y=1を満たすベクトルyは、√2(p,1-p)'となるものと思われますが・・・ 「λはもう１つの固有値」の真意は解りかねます。 なお、固有値が0,1の2つというのは正しいです。
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- kony0
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P'の固有値λ=0に対する固有ベクトルはy=c(1,-1)'であり、x'y=0となってしまうように思われるのですが…
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補足
早速のご指摘ありがとうございます。 kony0さんのおっしゃる通りでλ=0で考えるとうまくいかないのです。 λを算出する課程は (p-λ)(q-λ)-(1-q)(1-p)=0 pq-pλ-λq+λ*2-(1-p-q+pq)=0 λ*2-(p+q)λ+pq-1+p+q-pq=0 ここでp+q=1より λ*2-λ=0 λ(λ-1)=0 λ=0,1 と出したのですが間違っているでしょうか？