固有ベクトルの直交条件について

質問

実数を要素とするn×nの対称行列Aの異なる固有値k1、k2の固有ベクトルとしてそれぞれx1、x2が存在するとき、

x1Tx2=0・・・(1)
（Tは転置です。x1の転置。）

が導ければx1とx2は直交することが証明できるらしいのですが、なぜ(1)の式が成り立つときx1、x2は直交すると言えるのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.4

noname#221368

＞各基底ベクトルが直行するような座標系の上では、
＞内積は成分の積和で表される…という順番なら混乱がない。

　そ・・・それは全くそうなんですが＞#3さん。

　質問者の方は、ユークリッド空間上の標準内積を、x1Tx2と表すという「約束」さえ、まず知らなかったんだと思います。

　それをわかった上で、（固有値の重複も含めて）実対称行列の固有ベクトルは何故直交するのか？を考えたとき初めて、あなたの思いは通じると思います。

　じっさい自分がそうでしたので・・・(^^；)。

回答No.3

alice_44

それでは、話が逆なような気がする。

内積が積和で表されるのは、直交座標に固有の現象で、
一般の基底の上では、必ずしもそうはならない。
座標軸の直交性は、内積を用いて定義されるのだから、
なんだか話が循環している。

内積を公理的に定義し、直交を「内積=0」と定義すると、
各基底ベクトルが直行するような座標系の上では、
内積は成分の積和で表される…という順番なら混乱がない。

参考↓
http://homepage2.nifty.com/masema/pre_Hilbert.html

回答No.2

kamiyasiro

#1さんに補足を加えますと、以下のようになります。

転置した横ベクトルと縦ベクトルを掛けると、
要素の積和になります。

一方、ベクトルの内積は要素の積和ですよね。

つまり式（１）は、（内積）＝0という意味なんですよ。

回答No.1

alice_44

なぜも何も、式(1)が、「x1 と x2 が直行する」ことの定義ソノモノですから。
説明のしようがない。