- ベストアンサー
行列
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
それでは正規直交化にはシュミットの直交化を使います。 V1=(1,1,0) V2=(0,1,1) V3=(1,-1,1) としたときに正規直交化ベクトル U1,U2,U3は次のように求めます。 まず、 U1=1/｜V1｜ (｜V1｜はV1の絶対値です) ここでV'2というベクトルを考えて V'2=V2-(V2,U1)*U1 ((V2,U1)はV2とU1の内積です) とします。すると、 U2=V'2/｜V'2｜ 次にV'3というベクトルを考えて V'3=V3-(V3,U1)*U1-(V3,U2)*U2 とするので、 U3=V'3/｜V'3｜ 以上によってU1,U2,U3が求められます。実際の計算はお任せします。最後に、 [U1,U2,U3] という行列を作ればそれが求める直交行列になります。
その他の回答 (1)
- bilateraria165
- ベストアンサー率26% (8/30)
固有値と固有ベクトルは出されているんですね。 その後の手順としては 1.各固有空間の基を正規直交化 2.1.で出てきた正規直交化ベクトルを並べた行列を作る。 ・・・こうして得られた行列が直交行列です。 正規直交化までをさらっと計算してみましたが、それ自体はさほど難しくないと思われます。
お礼
ありがとうございます。 固有値は-1,5 固有ベクトルは(1,1,0)(0,1,1)(1,-1.1) ですよね？ 正規直行化のやり方がわからないんです。。。
補足
固有値は-1,5 固有ベクトルは(1,1,0)(0,1,1)(1,-1.1) ですよね？ 正規直行化のやり方がわからないんです。。。
関連するQ&A
- 対称行列を直行行列で対角化
次の対称行列を直行行列で対角化せよ、という問題で、解き方が分からないので一つずつ順を追って教えていただきたいです。 3 0 0 0 1 2 0 2 1 自分で計算してみて、固有値は-1と3と出たのですが、この値で合っているのか、合っていたとしてこの次に固有ベクトルをどうすれば求めるられるのかが分からないです… よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直行行列を用いた対角化
次の行列を直行行列を用いて対角化せよという問題があります 僕は右のような解答をつくりました 直行かを行う前に固有ベクトルが２つしか出てこないのでこれって直行化して対角化できないですよね？ ３×３行列なので３つ固有ベクトルがいると思います それか僕が行列の簡約化を間違えているのかもしれません いずれにせよ、固有ベクトルが３つではないのでどこがどう間違えているのか教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列演算： 固有ベクトルの解法
現在、対称行列の固有値、固有ベクトルを求めるプログラムを作成し、つい最近完成しました。 しかし、とても使い物にならないプログラムになってしまいました。 理由はとても遅いのです。 解法の手順として、まず固有値を求めてから固有ベクトルを求めるようと考え、入力の対称行列をHouseHolder法により三重対角行列に変換し、それをQR法により対角化してまず固有値を求めました。 固有値を求めることができたので、次に固有ベクトルを求めます。手順として、固有値ごとに入力対称行列の対角成分から固有値を減算した行列をＬＵ分解し、連立一次方程式を解くように固有ベクトルを求めていきます。 この一連の手順で、対称行列の固有値、固有ベクトルを求めることができたのですが、とても時間がかかってしまいます。 ただし、対称行列の固有値を求めるまでの時間はとても高速です。 ５００×５００の行列の固有値、固有ベクトルを求めるのに３０分はかかってしまいますが、その中で固有値を求める時間は２秒しかかかりません。 つまり今固有値がわかっている状態で、固有ベクトルを高速に求めたいと考えています。 なにか高速に固有ベクトルを求める方法（アルゴリズム）はあるでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有値、及び直交化問題
(1)対称行列の固有値は、なぜ実数なのですか? (2)対称行列を対角化する行列は、直交するベクトルで構成された行列に限られるのでしょうか？だとしたら、それはなぜですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。
実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。 (3 3 1) (3 9 -1) (1 -1 1)の実対称行列を対角化します。 固有方程式を作り、サラス式で展開すると固有値は0と(13±√(57))/2となります。 ここまでは、数学カテゴリの回答者の皆さまに確認いただいています。 ここからが疑問です。 そもそもこの行列は実対称行列であって固有値はすべて実数である、つまり、適当な直行行列で固有値を対角成分とする対角行列に変換できることが保証されているのだから、固有値を適当に対角に並べた行列が対角行列となる。 解は 1行目((13-√(57))/2 0 0) 2行目(0 (13+√(57))/2 0) 3行目(0 0 0) となる。 という考え方はどうでしょうか？ 判断をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトルについて質問です
対称行列を対角化するにあたって，対称行列の固有ベクトルについて次のように教科書に記述があります． 「対称行列の異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交する」 この記述によれば，異なる固有値から得られる固有ベクトルは必ず互いに直交しますが，固有値が重解となったときに同じ固有値から2つの固有ベクトルが得られる問題がありました． このとき，この得られた2つの固有ベクトルは互いに直交していないのでしょうか？ つまり，「同じ固有値から得られた固有ベクトルは絶対に直交しない」のでしょうか？ わかりにくい質問ですが，どなたか詳しい回答よろしくお願いします．
- 締切済み
- 数学・算数
- ｎ×ｎ複素対称行列の対角化
[1 i] [i 3] が対角化できるかどうか？の問題なのですが 行列式：４，固有値：２のみ，固有ベクトルの張る空間：ａ・（ｉ，１）＾Ｔ だと思うのですが正しいですか？ 固有空間の次元が１であり２でないので前記行列は正則行列によって対角化できないと結論づけていいのでしょうか？ 「もしも、対称行列が一次独立になった場合、 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか？ 」という質問があったのですが対称行列に「一次独立」は定義されているのでしょうか？ 私は「正則」のことだと思うのですが
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直行行列で対角化する問いについてお願いします。
0 1 1 Ａ＝< 1 0 -1>を直行行列で対角せよ。 1 -1 1 Ａ＝Ａの転置となる。Ａの固有値λ＝－√３ 、√３、１で各固有ベクトルを求め、単位固有ベクトルを３本作り、直交行列を作ると、二重根号ばかりで求めた直交行列が合っているのかわかりません。 この問いはどのようになるのかご教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
遅くなってすいません。細かくありがとうございました。