行列の対角化についてです

質問

次の対角化可能である２つの行列を対角化せよ
変換行列Pと、その逆行列P^-1　も求めよ
（１）
　　１　　０
A=
　　２　－２

（２）
　　５　　－２　　－２
B=１５　 －８　　－６
　　－９　　６　　　４

ご教授お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

実際やっておくと…

行列 A と同サイズの単位行列を E として、
A の固有値は、det(A-xE) = 0 の解 x です。
質問の A について、det(A-xE) = (1-x)(-2-x)-0・2
ですから、固有値は 1 と -2。

A の固有値 x に属する固有ベクトルは、
(A-xE)v = 0 の解 v です。
x = 1 のとき、A-xE =
　0　0
　2　-3
だから、v // (3,2)。
x = -2 のとき、A-xE =
　3　0
　2　0
だから、v // (0,1)。

No.1 に書いた手順で
D =
　1　0
　0　-2,
P =
　3　0
　2　1
とすれば、D = (P^-1)AP が成り立ちます。
P の逆行列は、普通に計算して、P^-1 =
　1/3　0
　-2/3　1
です。

D = (P^-1)AP だったか
D = PA(P^-1) だったかがアヤシクなる場合には、
AP = PD の形で覚えるといいです。
列ベクトルを集めて P にする理由とコミで
理解できるかと思います。

B も同様。
固有値が 1, 2, -2。固有ベクトルが
1 に対して (1,1,1),
2 に対して (3,2,0),
-2 に対して (0,1,-1) と求められるので、
D =
　1　0　0
　0　2　0
　0　0　-2,
P =
　1　3　0
　1　2　1
　1　0　-1
と置いて、D = (P^-1)BP です。

お礼

遅れてしまい大変失礼しました。
お陰様で問題を解けました。
ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

A や B の固有値を求めて、それを対角行列の成分に並べ、
各固有値に対する固有ベクトルを、固有値を並べたのと同じ順番で
P の列として並べるだけです。
固有値、固有ベクトルの求め方を知らないなら、
ちゃんと本を読みましょう。重要事項です。

固有値に重根がある場合には、少しややこしい
話があるのですが、今回の A, B は、幸い
固有値の重根がありません。