線形代数 対角化

質問

次の行列について，対角化可能であるかどうかを判定し，対角化可能の場
合には，その行列を対角化する行列を求めよ．(つまり，行列A に対して，
P^-1AP が対角行列となるような行列P を求める．)

1,-4,0
-4,3,4
2,-4,-1

この問題を機械的に解きたいのですが、わかりやすく
解法をおしえてもらえないでしょうか。

回答No.2

info22_

何が分からないのでしょうか？
#1さんのお書きの手順で求めればいいでしょう。

det(A-tE)=0
固有値：t=3,-1,1

(A-3E)[X]=[0]
固有ベクトル：[1,-1/2,1]

(A+1E)[X]=[0]
固有ベクトル：[1,1/2,1/2]

(A+1E)[X]=[0]
固有ベクトル：[1,0,1]

固有行列P：
[1,1,1]
[-1/2,1/2,0]
[1,1/2,1]

対角行列　P^-1AP：
[3,0,0]
[0,-1,0]
[0,0,1]

フォローして自分で途中計算をやって確認してみて下さい。

回答No.1

noname#108210

>この問題を機械的に解きたいのですが
難しい注文ですね。

（１）まず，行列の固有値を求める。|A-λE|=0を解けばよい。
　　　固有値がすべて異なれば対角化できる。
（２）それぞれの固有値に属する固有ベクトルを求める。方法は，
　　　固有値を(A-λE)に代入して（A-λE)x=0　を満たす自明でな
　　　い解（固有ベクトル）を１つ求める。
（３）求めたそれぞれの固有ベクトルを並べて，行列Pをつくる。

（４）次に，行列Pが正則かどうか調べる。
　　　たぶん，普通に簡単な整数で固有ベクトルをつくれば，その
　　　まま正則になるはず。
　　　正則なら，P^-1　が存在するから，(P^-1)APを計算する。
　　　対角線上に，固有値λ1,λ2,λ3　が並び，その他の成分が0の
　　　対角行列が得られる。

以上の手順を機械的に踏んで対角化することができます。