線形代数の質問です。

質問

行列　A=|6 2|
　　　|2 3|
について固有値はλ=2,7
固有ベクトルはx=t1≠0,x=t2≠0として
　　　|x| = t1 | 1| |x| = t2 | 1 |
|y| |-2| , |y| |1/2|
と計算で出したのですが
正規直行行列により対角行列に変換する場合は

上の結果より
　　P=| 1 1 |
　　| -2 1/2 |とおけば

P*-1AP=| 2 0 |
　| 0 7 | となる
という回答でよろしいのでしょうか？

また、２次形式A(x)=X*TAX=6x1*2+4x1x2+3x2を標準形に直せという問題がどのような解法をすればいいのかわかりません。

以上２点ご教授願います。(私が解いた固有値、固有ベクトルが間違っている場合もご指摘ください)

よろしくお願いいたします。

回答No.2

masudaya · ベストアンサー

直交が分からないですか？
字をよく見てください.
正規化については,正規直交ベクトルなど
で調べると分かるのではと思います.

2次形式についてもう少しだけ
一般形式は
A(x)=ax1^2+2bx1x2+cx2^2+dx1+ex2+f
で表されます.x1とx2を平行移動すると,d,eの項は消せて
A'(x)=ax1^2+2bx1x2+cx2^2+f'
となります.このax1^2+2bx1x2+cx2^2
の部分を
B(x)=ax1^2+2bx1x2+cx2^2
とすると
行列Aを
A=[a b;b c]としxT=[x1 x2]と定義すると
B(x)=xTAx
とできます.この行列Aは対称行列なので
正規直交行列で対角化可能で
たとえば回転行列R(θ)とし,
この回転行列で対角化可能とすると
(R(-θ)AR(θ)が対角行列ということ)
x'T=xTR(θ),x'=R(-θ)x
というx'で
B(x)=xTAx=x'TR(-θ)AR(θ)x'
とできるので,標準形に変形できます.

回答No.1

masudaya

正規直交行列の意味を考えて見ましょう.
質問にあるPは直交はしていますが,正規化されていません.正規化の意味をお調べ下さい.
(計算はしていないので,数値はあっているかどうか分かりません)

2次形式のほうは
A=[6 2;2 3](Matlab風の記述です)という行列を考えて
xT=[x1 ,x2]とすると
A(x)=xTAx
と書けます.標準形にするとは簡単に言うと座標変換してx1x2の項をなくすことです.

お礼

ご指導ありがとうございます。直行と正規化についてテキストを参照したのですが文字式や言葉での説明で具体例がなくいまいちよく理解できません。また、2次形式についても自分の持っているテキストには似たような類題等がなく、どのような回答(筆記を意識しての)をしたらいいのかがわかりません。標準形に関しては理解しています。まだまだ勉強不足なものですみませんがオススメの参考書等含めご指導願います。