ユニタリ行列って？？

質問

ユニタリ行列ってなんですか？ユニタリを満たすと、量子力学や、線形代数学において、どのような意味をもつのでしょうか？行列の要素に簡単な数値を用いて説明してもらえるとうれしいです。

次の文章は、自分で調べてみたけど、いまいち意味がわからなかったことです。

複素正方行列をUとすると、そのエルミート共役がその逆数に等しいとき、ユニタリと呼ばれるんですか？

U^†＝U^(-1)

（１）エルミート行列Aの対角要素は相似（ユニタリ）変換により、要約される。

D=U^†AU

ここでUは列が行列Aの直交ベクトルであるユニタリ行列で、実数対角行列で、対角要素は行列Aの固有値である

とありました。

回答No.2

tenro · ベストアンサー

ユニタリ行列（一般にはユニタリ変換）とは、エルミート内積が定義された複素ベクトル空間Vで内積を保つ変換をいいます。
例えば、VとしてC^2（複素数を成分に持つ２成分ベクトルの全体）とすれば、a、b∈Vの内積を
　　(a,b)=a1^*b1+a2^*b2、但しa=(a1,a2),b=(b1,b2)、^*は複素共役
で定義すれば、内積(a,b)はエルミート内積になります。ここで、V上の１次変換U:x→x'（Uは２x2の複素数を成分に持つ行列）がユニタリ変換であるとは、任意のa,b∈Vに対して
　　(Ua,Ub)=(a,b)
を満たすことをいいます。これは次の条件と同値になります。
　　U^*U = U^*U = I、但しIは恒等変換
さらに、a∈Vに対して
　　||a|| = root( (a,a) ) ≡ root( a1^*a1+a2^*a2 )
とおけば、|| ||はV上の距離（ノルム）を与え、ユニタリ変換Uはノルムを保つ、つまり任意のa∈Vに対して
　　|| Ua || = a
を満たします。

量子力学では、Vは波動関数の空間で無限次元の複素ベクトル空間になります（正確にはヒルベルト空間といいます。ヒルベルト空間にはさらに完備性の条件が付きますが省略します）。
この場合、２つの波動関数ψ1(x)、ψ2(x)∈Vに対して、エルミート内積が
　　(ψ1,ψ2) = ∫ψ1(x)^*ψ2(x)dx
によって定義されます。この場合、ユニタリ変換Uは
　　(Uψ1,Uψ2) =(ψ1,ψ2)
を満たす作用素ということになります。ノルムを保つという性質は
　　|| Uψ || = || ψ ||
となります。量子力学において、| ψ(x) |^2 = ψ(x)^*ψ(x)は点xに粒子が存在する確率を意味しており、|| Uψ || = || ψ ||は変換Uによって粒子の全確率|| ψ ||^2が保存する事を意味します。量子力学における波動関数の時間変化（シュレディンガー方程式の解）は時間をパラメータに持つユニタリ変換になりますし、空間回転などに対する対称性を論ずる場合その変換はユニタリ変換となります。ですので、ユニタリ変換は量子力学で時間発展の方程式を解いたり、対称性を論ずる場合不可欠な概念になります。

詳しくは、量子力学の本を読んでみてください。

以上、ご参考まで

お礼

丁寧に解説していただきありがとうございました。

回答No.1

guuman

正確に言うと
A^*を行列Aの複素共役転置行列とし
Iをn次単位行列とすると

n次正方行列Uが
U・U^*=Ｉ
を満たすときUをユニタリ行列と言う
この定義により
U^*=U^(-1)
となる

Hをエルミート行列とすると
U^*・H・Uが実対角行列となるユニタリ行列Uが存在する

物理の先生は言葉づかいが乱暴で意味不明なことが多いので注意

ちなみに
Aを正規行列とすると
U^*・A・Uが対角行列となるユニタリ行列Uが存在する
逆に
ユニタリ行列Uによって
U^*・A・Uが対角行列になるならばAは正規行列である

お礼

教科書の内容がより理解できました。ありがとうございました。