ユニタリ行列と対角化について

質問

A=
（ cosθ　-sinθ）
（ sinθ cosθ ）

この2×2行列の固有値、固有ベクトルを求め
ユニタリ行列Uを用いて対角化するというものなのですが
まずdet(λE-A)=0 から λ=cosθ ± i|sinθ| が求まり
そこから固有ベクトルを求めようとしたのですが
sinθの正負で場合わけすると
ひとつの固有値に対して固有ベクトルが二つでてきて
それから先に進めません・・・。

通常の対角化と違うやり方をおこなわないといけないのでしょうか？
行列についてあまり詳しくないのでわかりやすく教えていただけるとうれしいです。
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

#1です。

#1にも書きましたが、λ=cosθ ± isinθ と絶対値を外しておいた方が遥かに楽です。

λ1=cosθ+i|sinθ|,λ2=cosθ-i|sinθ|
λ1'=cosθ+isinθ, λ2'=cosθ-isinθ

とおくと、sinθ>0の時は、(λ1,λ2)=(λ1',λ2')となり、
sinθ<0の時は、(λ1,λ2)=(λ2',λ1')のように入れ替わります。

ちょっと計算すれば分かると思いますが、λ1'に対する固有ベクトルは、
＞α（-i)
＞(1 )
になり、λ2'に対する固有ベクトルは、
＞β(i)
＞(1)
となるはずで(私は計算してませんけど^^;)、場合分けをせずに、固有ベクトルが求まります。
(cosθ±i|sinθ|としたら、sinθ<0の時に、(λ1,λ2)=(λ2',λ1')のようにλ1とλ2が入れ替わるから、固有ベクトルも入れ替わる)

＞その結果から最後にA^nを求めると
＞sinθの正負で別々のものがでてしまうのですが
もともとsinθの正負で場合分けをしていますので、両方の式が同じ式で表されるとは限りません。

ただ、この場合は同じ式で表されるはずですので、どこかで計算間違いをしているか、ちょっと工夫すれば同じ式になるか、のどちらかだと思いますよ。

いずれにせよ、この問題に関しては、固有値は
λ=cosθ±isinθ
と絶対値をつけていないものだと思って計算した方が楽です。

補足

何度も何度も本当にすいません。

完全に計算間違いで、うまく計算することができました。
どうもありがとうございましたm(__)m

回答No.1

eatern27

＞λ=cosθ ± i|sinθ|
は、間違いではありませんが、
λ=cosθ ± isinθ
のように絶対値をはずしても、組合せは一緒なので、
λ=cosθ ± isinθ （=e^(±iθ)）
とした方が楽だと思いますよ。

まぁ、λ=cosθ±i|sinθ|のままでも、
＞sinθの正負で場合わけすると
＞ひとつの固有値に対して固有ベクトルが二つでてきて
のようになったとは言っても、各θに対して、固有ベクトルは２つだけ(ひとつの固有値に対しては１つの固有ベクトル)ですよね？
なので、各θごとに、対角化すれば問題ないかと。

補足

ありがとうございます
＞各θに対して、固有ベクトルは２つだけ(ひとつの固有値に対しては１つの固有ベクトル)ですよね？

固有値の＋の方をλ１、－の方をλ２としたら
λ１では
sinθ>０の時
固有ベクトルは
α（-i)
(1 )
sinθ<０の時
β(i)
(1)
と二つ出て、λ２ではsinθの正負でそれぞれλ１と逆のものがでます。
その結果から最後にA^nを求めると
sinθの正負で別々のものがでてしまうのですが
どうすればよいのでしょうか？