ユニタリ行列と対角化について

このQ&Aのポイント
  • ユニタリ行列と対角化について説明します。ユニタリ行列Aの固有値、固有ベクトルを求め、ユニタリ行列Uを使って対角化する方法について解説します。
  • 通常の対角化とは異なる方法で行列を対角化する必要があります。sinθの正負で場合わけすることで固有ベクトルが二つ得られるため、それを利用して対角化を行います。
  • 行列について詳しくない場合でもわかりやすく説明しますので、どうぞお気軽にご質問ください。
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ユニタリ行列と対角化について

A= ( cosθ -sinθ) ( sinθ cosθ ) この2×2行列の固有値、固有ベクトルを求め ユニタリ行列Uを用いて対角化するというものなのですが まずdet(λE-A)=0 から λ=cosθ ± i|sinθ| が求まり そこから固有ベクトルを求めようとしたのですが sinθの正負で場合わけすると ひとつの固有値に対して固有ベクトルが二つでてきて それから先に進めません・・・。 通常の対角化と違うやり方をおこなわないといけないのでしょうか? 行列についてあまり詳しくないのでわかりやすく教えていただけるとうれしいです。 よろしくお願いしますm(__)m

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  • eatern27
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回答No.2

#1です。 #1にも書きましたが、λ=cosθ ± isinθ と絶対値を外しておいた方が遥かに楽です。 λ1=cosθ+i|sinθ|,λ2=cosθ-i|sinθ| λ1'=cosθ+isinθ, λ2'=cosθ-isinθ とおくと、sinθ>0の時は、(λ1,λ2)=(λ1',λ2')となり、 sinθ<0の時は、(λ1,λ2)=(λ2',λ1')のように入れ替わります。 ちょっと計算すれば分かると思いますが、λ1'に対する固有ベクトルは、 >α(-i) >(1 ) になり、λ2'に対する固有ベクトルは、 >β(i) >(1) となるはずで(私は計算してませんけど^^;)、場合分けをせずに、固有ベクトルが求まります。 (cosθ±i|sinθ|としたら、sinθ<0の時に、(λ1,λ2)=(λ2',λ1')のようにλ1とλ2が入れ替わるから、固有ベクトルも入れ替わる) >その結果から最後にA^nを求めると >sinθの正負で別々のものがでてしまうのですが もともとsinθの正負で場合分けをしていますので、両方の式が同じ式で表されるとは限りません。 ただ、この場合は同じ式で表されるはずですので、どこかで計算間違いをしているか、ちょっと工夫すれば同じ式になるか、のどちらかだと思いますよ。 いずれにせよ、この問題に関しては、固有値は λ=cosθ±isinθ と絶対値をつけていないものだと思って計算した方が楽です。

choco53
質問者

補足

何度も何度も本当にすいません。 完全に計算間違いで、うまく計算することができました。 どうもありがとうございましたm(__)m

その他の回答 (1)

  • eatern27
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回答No.1

>λ=cosθ ± i|sinθ| は、間違いではありませんが、 λ=cosθ ± isinθ のように絶対値をはずしても、組合せは一緒なので、 λ=cosθ ± isinθ (=e^(±iθ)) とした方が楽だと思いますよ。 まぁ、λ=cosθ±i|sinθ|のままでも、 >sinθの正負で場合わけすると >ひとつの固有値に対して固有ベクトルが二つでてきて のようになったとは言っても、各θに対して、固有ベクトルは2つだけ(ひとつの固有値に対しては1つの固有ベクトル)ですよね? なので、各θごとに、対角化すれば問題ないかと。

choco53
質問者

補足

ありがとうございます >各θに対して、固有ベクトルは2つだけ(ひとつの固有値に対しては1つの固有ベクトル)ですよね? 固有値の+の方をλ1、-の方をλ2としたら λ1では sinθ>0の時 固有ベクトルは α(-i) (1 ) sinθ<0の時 β(i) (1) と二つ出て、λ2ではsinθの正負でそれぞれλ1と逆のものがでます。 その結果から最後にA^nを求めると sinθの正負で別々のものがでてしまうのですが どうすればよいのでしょうか?

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