行列について

質問

行列
A=E-αR, R= sin^2θ 　sinθcosθ
sinθcosθ cos^2θ

があります。行列Aと行列Rの固有値と固有ベクトルの関係を示せ。

という問題があるんですがわかりません。
ヒントでもよいので教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

E x - α R x の y 成分は、
(cosθ/sinθ) - α{ (sinθcosθ)・1 + (cos^2θ)・(cosθ/sinθ) } ですから、
その計算は、
-α sinθcosθ + cosθ/sinθ - α cos^3θ/sinθ の間違いでしょう。
修正したほうの式を整理すれば、ちゃんと (1-α)(cosθ/sinθ) になりますよ。

お礼

本当ですね！そなりました。
いろいろとありがとうございました。

回答No.2

alice_44

そうです。No.1 のヒントは、
A と R の固有ベクトルが一致する
ことをいったのです。
R x = λx (λ はスカラー) であれば、
(E - αR) x = (1-αλ)x ですからね。

貴方の A x = x は、R の固有値 0 に対する
固有ベクトルを x としたものだと思いますが、
R のもう一方の固有値 1 に対する
A の固有値は、どうなりましたか？

「変な形」だけでは、解りません。
求めた値と計算過程を補足に書けば、
添削を試みましょう。

補足

回答ありがとうございます。

Rの固有値１に対する固有ベクトルはx=
1
cosθ/sinθ

となりました。
これでAｘを計算すると

１－α
-αsinθcosθ+cosθ/sinθ-cos^3θ/sinθ

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

ヒント :
R の固有ベクトル x について、
A x を計算してみる。

補足

AX=X と１つのベクトルはなりますが、もうひとつの固有ベクトルに対しては変な形になってしまいます。
あと、AとRの固有ベクトルは同じとなりましたが、正しいでしょうか？