締切済み

行列 X^2=A

2007/07/11 19:37

3×3行列行列A 1 1 -1 1 3 -1 -1 -1 1 X^2=A を満たす3次正方行列を求める問題なんですが、 Aの固有値と固有ベクトルまでは求めて、対角化して解こうとしたんですが、うまくできません。どなたかご教授ください。よろしくお願いします。固有値0,1,4 固有ベクトル　 1 　-1 　-1 0 　 1 　-2 1 　 1 　 1

sss333
お礼率88% (48/54)

数学・算数
回答数1
ありがとう数0

みんなの回答 （1）
専門家の回答

みんなの回答

Tacosan
ベストアンサー率23% (3656/15482)

2007/07/11 19:53 回答No.1

どこがうまくできないんでしょうか?

関連するQ&A

対称行列の対角化

行列Aの固有値と固有ベクトルを求めよ。また、行列Aを対角化せよ。　　(3 1 1) A=(1 2 0) 　　(1 0 2) っていう問題で、固有値1,2,4は出したんですけど、そこから普通に固有ベクトルを出して対角化しようとしたらうまくいきませんでした。対称行列では何か特別な方法を使うんでしたっけ？ Aは３次の正方行列です。どなたかわかる方教えてください。
対角化行列

三次正方行列Ａ＝ (　　　　　　　) |　１　１　０　| |　１　１　１　| |　０　１　１　| (　　　　　　　) 書き方わからないので見にくい方いたら申し訳ありません。（左上と右下だけ０であとはすべて１です。）この行列を対角化するんですが、固有値はλ1=1, λ2=1+√2, λ3=1-√2 の三つで、それぞれの固有ベクトルってλ1で、x=[1 0 -1]　λ2で、x=[1 √2 1]　λ3で、x=[1 -√2 1]となったのですが、これってあってますか？（↑はそれぞれ正規化してません、対角化行列を作るときはλ2,λ3のノルムである２にλ1をあわせるようにして作りました。）対角化行列の逆行列を求めるときにどうしてもおかしくなってしまいます。よろしくおねがいします。
固有値と固有ベクトルが既知のときの行列

３次の正方行列 A について次の条件が成り立つとする． | 1| | 0| |－1| は固有値 1 の固有ベクトルである． | 1| |－1| | 0| は固有値－1 の固有ベクトルである． |2| |0| |1| は固有値 0 の固有ベクトルである．このとき以下の問に答えよ． (1) A を求めよ． (2) A を対角化する行列 P と対角行列 P^－1AP を求めよ． (2)は固有ベクトルをPとすれば，１次独立だからPが正則となり答えが分かるのですが，(1)をどのように出すか分かりません．ご教授お願いします．
対称行列　対角行列

対角行列と対角化について質問させて頂きます。対角行列は、対角成分以外が0の正方行列です。対称行列は、t^A=Aが成り立つ正方行列Aです。ここで、対称行列の定理で、・対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。というものがあるのですが、これは対角行列にも言えるのでしょうか？対角行列は対称行列なので言えると思いますが、テキストに特に記載がなかったので質問させて頂きました。以上、ご回答よろしくお願い致します。
線形代数　行列　対角化

対角化について質問させて頂きます。対角化とは、「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な対角行列に帰着させること。」と説明がありました。ここで、同値とは具体的にどのような内容を指すのでしょうか？また、対角化を求める際、正方行列Aに対してP^-1APとなる正則行列Pを求めます。この正則行列Pは正方行列Aより求めた固有値に属する固有ベクトルを並べたものになりますが、これはなぜですか？なぜ、固有ベクトルを並べたものが正則行列Pになるのでしょうか？以上、ご回答よろしくお願い致します。
行列

A,B,C・・・をそれぞれ正方行列とします。 A,B,C・・・を対角に並べて、その他はすべて０の行列をX（正方行列）とします。そのとき、Xの固有値を求めると、 A,B,C,・・・のそれぞれの固有値を求めたものをあわせたものに等しいことの証明を、どなたかお願いします。
行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いし

行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いします。行列A [-3 -1 -5] [1　 1 　1] [3　 1 　5] を対角化するための行列を求めようとしようとしています。 Aに関しては、Ax=txとおき、tを対角行列、xを固有ベクトルとすると、 (tE-A)x=0と変形できるため、x≠0であるためには、 |tE-A|=0が条件になります。これを解くと、t=0,1,2が得られます。 3次正方行列において、3つの異なる固有値が得られたため、行列Aは対角化可能です。(前提１　この前提が間違っている？) P^-1・A・P=B (前提２：Bは対角行列、P,P^-1は正方行列) となるようなPの条件は、 (tE-A)=0を満たす行列の組み合わせ、すなわち、固有値0の時のa(1,1,-1),固有値1の時のb(1,1,-1), 固有値2の時のc(1,0,-1)(※a,b,cは任意の数)の組み合わせです。ところが、これらの組み合わせでできる、例えば行列C: -1　1　1 1　1　0 1　-1　-1 は正方行列ではなく(rankC=2)、C≠Pです。そのため、行列Aを対角化することができません。前提１，前提２のどちらかが間違っているのでしょうか。それとも、計算をどこか間違えているのでしょうか。求めたいのは、行列Aを対角化する行列Pです。どなたか、よろしくお願いいたします。
行列P

行列A 3 4 5 4 についての問題を解いていたんですが、分からなくなったので質問します。まず固有値、固有ベクトルを求めよとなっていて固有値 8　固有ベクトルは 4 5 固有値 -1 固有ベクトル -1 1 となりました。それで次の問題で、(P^-1)APが対角行列となるような行列Pを求めよとなっていて P 4 -1 5 1 としました。 p -1 4 1 5 でも同じなんでしょうか？教えてください。あと、続きで、X^3=Aとなる行列Xを一つみつけよ。となっているんですが、 2 0 0 -1 と計算したらなりました。あっているでしょうか？行列Pの順番をかえるとこの答えも変わってくるのですが…
行列の対角化について

行列Aが与えられていてその行列の固有値、固有ベクトルを求め、Aを対角化せよという問題があったとして、その問題を解くときにまず固有値を求め、固有ベクトルを求めるところまではいいんですが、対角化するというときに固有ベクトルから行列Pを求め、P-1AP = 対角行列という風にすると思うんですが、この場合P-1APは実際にP-1を求めて計算する必要があるんでしょうか？はじめから対角行列であるということがわかっているように普通に書いてもよいんでしょうか？
共分散行列の固有値・固有ベクトルの行列

以下のようなデータを用いて、共分散行列を生成するとします。 (各No.にはそれぞれx1~x5の5つのデータ) x1 x2 x3 x4 x5 No.1 [2 4 5 2 1] No.2 [3 10 8 7 9] No.3 [11 3 2 1 6] すると、共分散行列は3×3の正方行列になり、その固有値も3つ求まりますよね。しかし、固有ベクトルに関してはデータがx1,x2,..,x5と5次元で考えているので、ひとつの固有値に対して5つの成分を持つ固有ベクトルが求まりますよね。よって、共分散行列の固有値行列は必ず正方行列になりますが、固有ベクトルの行列は上の例の場合なら5×3行列（列は対応する固有値の数、行はベクトルの成分の数）となり、必ずしも正方行列にはなりませんよね？そのあたりを教えて頂きたいと思います。よろしくお願いします。
この行列問題を早くとく方法

実３次正方行列ＡＡ＝|(7/2) 0　　-(9/2)　| 　　　| 1　　　1　　　1　　　| 　　　|-(9/2) 0　(7/2)　　| についてＢ^3=A となる実３次正方行列Ｂを一つ求めよという問題ですが、以下の方法より早く解く方法がありましたら教えてください (*は行列同士の積の操作とします) 私はＢは対角化可能の行列とし、そこからＢ^3 =P *(P^(-1)*B*P)^(3)*P^(-1) =A これに左からP^(-1)、右からPをかけ (P^(-1)*B*P)^(3)= P^(-1)*A*P そしてＡの固有値を求め、固有ベクトルからＰとＰ^(-1)を求め、Ａを対角化する（対角要素は固有値）対角化されたＡの要素の三乗根を求め左からＰ、右からP^(-1)をかけＢを求めましたしかし、これよりもっと早く解ける方法があると思うのです。ポイントはＢを一つ挙げよ、というとこだと思うのですが・・どうかおねがいします
行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化

行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化３次正方行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化が可能か求めていました。固有ベクトルを(s,t,u)(長さ=1)、固有値をλとおいて、固有値方程式を解いていくとλ(3λ-2)=0 となり、λ=0,2/3 と解が２つしか出ないのですが、対角化は可能なのでしょうか？さらに、λ=2/3を固有値方程式に代入すると(s,t,u)=(0,0,0)になり、固有ベクトル(s,t,u)の長さ=1に矛盾してしまいます。対角化は不可能なのでしょうか？それとも求め方が間違っているのでしょうか？どなたかアドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。
行列の対角化

　　┌1　－2　－2┐ A＝│1　　2　　2│ 　　└(-2)　2　　1┘ という行列なのですが、対角化できるのでしょうか？何度も何度も解きなおしてるんですけど対角化できません。 Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は・・可能ですよね？固有値として-1、±√7が求まるのですが、±√7に対する固有空間を考えるとどうしても固有ベクトルとして成分がすべて0の（3,1）行列しか出てこなく、対角化行列が　　┌0　0　0┐ P＝│1　0　0│ 　　└(-1) 0 0┘ といったような行列になってしまうのですが、この場合P^(-1)が存在しないためP^(-1)*A*Pは存在しない事になり、Aは対角化不可能ということになってしまいますよね？？多分どこか間違った理解をしているところがあると思います。どなたかご教授お願いできないでしょうか？
固有ベクトルの逆行列が存在しない？

行列A= (０，１，１） (１，０，１） (１，１，０）の固有値と固有ベクトルを求める(ただし各固有ベクトルの最大の成分は1となるようにする) 問題なのですが，固有値λ＝－1(重解)，2　と求め固有ベクトルをそれぞれ x=(x1，x2，x3)=(１，－1/2，－1/2)，(１，１，１）　と求めたのですが，対角化行列P= (１，１，１) (１，-1/2，-1/2) (１，-1/2，-1/2) の行列式が0になってしまいPの逆行列が存在しないことになってしまいます。これはどこかで計算ミスをしているのでしょうか？それとも固有ベクトルに逆行列が存在しないことはあるのでしょうか？自分ではこれ以上見直しても分からないので教えてくださると助かります。
行列の問題で、A^(-1)=PDP^(-1)を満たす正則行列Pと対角行

行列の問題で、A^(-1)=PDP^(-1)を満たす正則行列Pと対角行列Dを求めよ。という問題で、Aの逆行列と、固有値、固有ベクトルまで求めたのですが、その後どうすればよいのでしょうか？
行列の問題です。

A^2=Aをみたすn次複素正方行列Aは、対角化可能であることを示せ。また、Aの階数とトレースは一致することを示せ。 Aの固有値をλ 固有ベクトルをuとすると Aλ=λu またA^2u=λAu=λ^2u A^2=Aより A^2u=Au=λuとなり、 λ^2=λ したがって λ=0または1 これから対角化可能までたどり着けません。対角化できれば、対角成分は1または0より階数とトレースは一致することは分かります。よろしくお願いします。
行列についての質問です

2次の正方行列A A11=0 A12=-i A21=i A22=0 があります。これの固有値は1と-1になりました。問題で U^-1AUが対角形になるような直交行列Uを求めよという問題です。よろしくお願いします。
行列の証明について（A～Aなど）

2つのｎ次正方行列A,Bに対し、P^-1AP＝Bとなるような正則行列Pが存在するとき、A～Bで表すとして、 (1)A～A (2)A～BならB～A (3)『A～BかつB～C』ならA～C (1)～(3)が成り立つ事を証明しなければいけないのですが、そもそもA～Aの『～』の意味が理解できません。例えば(1)の問題であれば P^-1AP＝Aということなのかどうか。もしP^-1AP＝Aということだとした場合に左辺が対角化されているので右辺はAの固有値を含む行列になっていると思うのです。 Aの行列を (a　b) (c　d) として（本当は１つの()の中にabcdを書きたいのですができないため()が２つになっています。） Aの固有値がｘ、ｙとなれば右辺は (ｘ　０) (０　ｙ)のようになると思うので P^-1AP＝Aという式は成り立たないと思いました。しかし問題は成り立つ事を証明しろ、なので僕の考え方が間違っていると思います。この証明の正しい解き方を『～』の意味を含めご教授して頂けないでしょうか。よろしくお願いします。
行列の対角化についての質問です

行列問題の質問なのです。 |2 1 1| A=|1 2 1| |1 1 2| この行列を対角化しろという問題です。この問題で固有ベクトルを求めるべく固有値を出すとλ＝１(重複解)、4 となり、自由度が２ということから x_1 + x_2 + x_3 = 0 x_2 = C1 x_3 = C2 ここから先がわかりません(x_x) 試験で出るみたいなので・・・どうかお願いしますm(__)m
直行行列で対角化する問いについてお願いします。

0 1 1 Ａ＝< 1 0 -1>を直行行列で対角せよ。 1 -1 1 　Ａ＝Ａの転置となる。Ａの固有値λ＝－√３　、√３、１で各固有ベクトルを求め、単位固有ベクトルを３本作り、直交行列を作ると、二重根号ばかりで求めた直交行列が合っているのかわかりません。この問いはどのようになるのかご教授願います。

行列 X^2=A

みんなの回答

関連するQ&A

対称行列の対角化

対角化行列

固有値と固有ベクトルが既知のときの行列

対称行列　対角行列

線形代数　行列　対角化

行列

行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いし

行列P

行列の対角化について

共分散行列の固有値・固有ベクトルの行列

この行列問題を早くとく方法

行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化

行列の対角化

固有ベクトルの逆行列が存在しない？

行列の問題で、A^(-1)=PDP^(-1)を満たす正則行列Pと対角行

行列の問題です。

行列についての質問です

行列の証明について（A～Aなど）

行列の対角化についての質問です

直行行列で対角化する問いについてお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

行列 X^2=A

みんなの回答

関連するQ&A

対称行列の対角化

対角化行列

固有値と固有ベクトルが既知のときの行列

対称行列 対角行列

線形代数 行列 対角化

行列

行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いし

行列P

行列の対角化について

共分散行列の固有値・固有ベクトルの行列

この行列問題を早くとく方法

行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化

行列の対角化

固有ベクトルの逆行列が存在しない？

行列の問題で、A^(-1)=PDP^(-1)を満たす正則行列Pと対角行

行列の問題です。

行列についての質問です

行列の証明について（A～Aなど）

行列の対角化についての質問です

直行行列で対角化する問いについてお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

対称行列　対角行列

線形代数　行列　対角化

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録