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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：二次の回転行列関連です）
二次の回転行列関連の幾何学的な解釈と固有値の意味について
このQ&Aのポイント
- 二次の回転行列に関連する幾何学的な解釈として、回転変換と対称変換の特性を説明しました。回転変換では原点を中心として角度に応じた回転を行い、対称変換では傾き角に応じた直線についての対称変換を行います。また、これらの変換によってベクトルの長さは変化しないことを指摘しました。
- さらに、行列の条件を導き出すために不変式であるx^2-y^2を考えました。その結果、行列を(a,b,c,d)とおいた場合、a^2-c^2=1、b^2-d^2=1、ab-cd=0の条件が得られました。これによって、結果として(secθ,±tanθ,tanθ,±secθ)という行列が導かれました。
- また、固有値と固有ベクトルを求めることで、回転行列と関連付けられる幾何学的な性質を探りました。固有値はsecθ±tanθであり、対応する固有ベクトルは(1,±1)です。これらの固有値と固有ベクトルは回転との関係性を持ち、双曲線の形状を想起させると考えました。ただし、双曲線に関しては分解型複素数で表現されることが一般的であり、secやtanだけではうまく表現できないかもしれません。しかし、secやtanを用いた数式の形式で解を求めることも検討しています。さらなる幾何学的な解釈や学習に役立つ情報があれば、教えていただきたいと思っています。
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noname#152422
回答No.2
幾何学的な意味を追求したければ、次元を二つ追加してローレンツ変換を考えてみたらどう？ 物理の相対論関連の本には載ってるし、専門書でなくても一般向けの解説書も多い。
その他の回答 (1)
noname#152422
回答No.1
日本語が独特すぎて何を言ってるのかわからん。 読む人のことを考えて書いておくれ。
質問者
補足
ごめんなさい それに誤字脱字が目立ちますね 要は直行行列を考えたいのです 通常はベクトルの内積を(x,y)・(z,w)=xz+ywでとりますが それに対しxz-ywとなるようにして考えた場合 つまり長さは通常x^2+y^2のところをx^2-y^2で考えた場合で 直行行列を求めてみたいのです.実際に求めてみると どのような一次変換をする行列ができるかといえば 双曲線上の点をそれと同一な双曲線上のある一点に移すような行列 ないし対象変換を少し変えたような行列ができます この二つのうちの前者はどのような変換をする行列なのかが知りたいのです 双曲線→双曲線の変換になることは明かですが θを変えることによって変換自体にどう変化があるかがよくわかりません 例えば回転変換ならθを大きくするとより大きな角度回転します このことは幾何学的に見てわかりやすい ところが今回の場合は角度が直観的にわかりにくいので どうやったらθが見えてくるのでしょうか…という質問です
お礼
遅れてすみません わかりました 次元を上げて一般化をすすめてくるってことは あんまりサックリした答えはないみたいですね… 回転や対象変換のように角度が見えやすいと 嬉しかったのですがすぐには触れられないようですね やり始めるとキリがないので今はやめときますが いずれぜひ楽しませていただきます ありがとうございました