幾何学(行列)の問題を教えて下さい。

質問

この問題が分からず困っています。
分かる方、お願いいたします
問題：
行列式が1であるn×n直交行列全体をSO(n)、つまり
SO(n)={A∊MnR | tAA=E,detA=1} ※tAはAの転置行列です
とおく。
このとき
(1)nが奇数の時、A∊SO(n)は固有値1を持つことを示しなさい
(det(A-E)=0を示せばよい)
(2)(1)の証明で用いた各等式(等号)が成り立つ理由をそれぞれに関して述べなさい
(3)SO(2)の元は2×2の行列で

(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ ) (0≦θ<2π)
と一意的に書ける事を示しなさい。
という問題です。
分かる方教えて下さい、お願いいたします

回答No.3

26803TT519 · ベストアンサー

(1), (2)
A - E = (E - tA)A
ここで, E - tA = t(E - A)
また, すべての X ∈ M_n(R) に対して, det(tX) = detX
よって, det(A - E) = det(E - A) * detA = (-1)^n * det(A - E) * 1
あとは, n が奇数であることより, det(A - E) = 0 が得られます.

(3) は SO(2) の元である行列の4つの成分を a, b, c, d として連立方程式を作り, 地道に計算してください.

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

26803TT519

ANo.1 は勘違いしました。
R は実数体ということでよろしいですか。
証明は簡単です。

補足

はい、実数体ということです。

回答No.1

26803TT519

MnR と書かれても、よく分かりません。
特に R が何を表すかきちんと説明することは、(1) の証明において非常に重要なのではありませんか。