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幾何学の行列による鏡映の問題を教えて下さい

問題:2×2の行列 (cosθ sinθ) (sinθ -cosθ) はどのような直線に関する鏡映かを答えなさい という問題です。分かる方、どうかお願いします 

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  • bran111
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回答No.1

直線L:y=mx+dに関する 点P(p,q)の鏡像をP'(p',q')とすると 直線PP’=L’の方程式:y-q=(-1/m)(x-p), P’はこの直線状にあることから q'-q=(-1/m)(p'-p) (1) PP'の中点((p+p')/2,(q+q')/2)はL上にあることから (q+q')/2=m(p+p')/2+d q+q'=m(p+p')+2d (2) (1),(2)をp',q'について解くと p'=[(1-m^2)p+2qm-2dm]/(m^2+1) (3) q'=[(2mp-(1-m^1)p+2d]/(m^2+1) (4) 直線と2点PP’の関係は直線が原点を通るように平行移動しても変わらない。よって以下の検討においては d=0     (5) とする。 Lとx軸とのなす角をtとすると m=tant (6) 2m/(m^2+1)=2sintcost=sin2t (7) (1-m^2)/(1+m^2)=cos^2t-sin^2t=cos2t (8) (5)~(8)を(3),(4)へ代入すると p'=pcos2t+qsin2t q'=psin2t-qcos2t 行列表示すると (p') (cos2t sin2t) (p) =                (9) (q') (sin2t -cos2t) (q) 問題の行列を見ると(9)の係数行列において 2t=θ, (10) としたものであることが解る。したがって問題の行列は 直線 :y=xtan(θ/2)          (11) に関する鏡映である。

o-saka-iru
質問者

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