ベクトルの内積(余弦定理、鏡映)の問題を教えて下さ

質問

Rⁿの内積に関する問題(余弦定理、鏡映)を教えて下さい。
この問題が分からず困っています
問題：
次の、Rⁿの内積に関する問題を解きなさい。

ただし、原点をOとして、点Xに対するベクトルOX
をxと表わしている。
(1)-|a||b|≦a・b≦|a||b|より、cosθ=(a・b)/(|a||b|)でθ∊[0,π)を定義すると、θは幾何的なaとbのなす角と一致する事は既知として、△OABの∠AOB=θに関する余弦公式を示せ。
(ベクトルABをaとbを用いて書くとよい)
(2)点Aを通り、法線ベクトルnを持つ超平面Πに関する鏡映Sπ：Rⁿ→Rⁿは
Sπ(x)=x-{2(x・ｎーa・ｎ)/(n・n)}・n
で与えられる。鏡映は等距離変換であること、つまり|Sπ(x)-Sπ(y)|=|x-y|を示しなさい
という問題です。
分かる方、教えて下さい。お願いいたします

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

(1) cosθ=(a・b)/(|a||b|) を辺の長さで表し直せば良いです。|a| = OA, |b| = OB です。a・b については、
　AB² = (a-b)² = a² + b² -2a・b,
　a・b = (a² + b² - AB²)/2 = (OA² + OB² - AB²)/2
と書けます。よって、cosθの式に代入して、
　cosθ = (OA² + OB² - AB²)/(2 OA OB).

(2) ごたごた考えるより愚直にやってしまうのが良い様に思います:
　Sπ(x) - Sπ(y)
　　= x-y - {2(x-y)・ｎ/(n・n)}n,
　|Sπ(x) - Sπ(y)|²
　　= |x-y|² - 2(x-y)・n {2(x-y)・ｎ/(n・n)} + (n・n){2(x-y)・ｎ/(n・n)}²
　　= |x-y|²,
　|Sπ(x)-Sπ(y)|=|x-y|■.

お礼

ありがとうございます。
理解できました