ベクトルの内積って何？

質問

角A＝90度　AB=5　AC=4　の三角形において次の内積をもとめよ。
というばあいベクトルBA・BC＝絶対値のベクトルlBAl・lBClcosαという感じになりますよね。
けど、別の問題では、次のベクトルa,bの内積と、ｓのなす角θ（0度≦θ≦180度）を求めよ。
ベクトルa=(-1,1) b=(√3 - 1，√3　+1)
という問題では内積は、ベクトルa・b=2　となっています。　コサインはいらないのでしょうか・・・？
成分表示をされてるときはいらないのかな・・・とおもいました。
高３なのですが・・・。あまり深い知識はいらないのですが、この２つの何が違うのか？考え方を教えていただけたらと思います。お願いします。

回答No.2

mangou-kutta · ベストアンサー

ベクトルBA・BC＝lBAl・lBClcosα
のときの・は普通の(実数)の掛け算です。
これは省略してもかまいません。

→aと→bの内積は(→a)・(→b)
とあらわしこのときの・は内籍を意味します。

(→a)・(→b)＝|→a||→b|cosα・・・・・・(*)
が内積の定義(約束)ですが、
内籍を表すときは必ず・(ドット)をつけます。

成分表示だからというのは関係ありません。

→a＝(a1,b1)，→b＝(a2,b2)のとき
(→a)・(→b)＝a1a2＋b1b2
となるのは定義の(*)式から導かれるものです。

お礼

なるほど！ありがとうございました！
またアスタリスクの式が元になってそこから
２つめの式が導かれているのだとも理解できました
たすかります！

回答No.3

mangou-kutta

失礼、訂正します。
内籍の部分は内積の間違いです。

初めの行の
ベクトルBA・BC＝lBAl・lBClcosα
は左辺は内積だから・の省略はできませんが
右辺の・は普通の(実数)の掛け算ですから省略してもかまいません。

お礼

なるほど、ありがとうございました

回答No.1

happy2bhardcore

ここの一番下に証明が書いてあります

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/dot_product0.html#define

お礼

なるほど!一番下の証明わかりやすかったです！
ありがとうございます！結局cos90とか0で、0になったり1になったりってことだったんですね。
ベクトルa・b＝a1b1+a2b2になる理由がわかりました。
ありがとうございます！
また、分かりやすいサイトをありがとうございます！
他にも役立つかもしれません。一応ブックマークしておきます。