• ベストアンサー

ベクトルの内積

2つのベクトルの成す角を求めたいのですが、納得できる数値が得られず困っています。 ベクトルの内積の定義はA・B=|A||B|cosΘと理解しており、ここからcosΘを求めます。 ベクトルA(1,1,0)、ベクトルB(1,1,1)とした場合、二つの成す角は45度だと思うのですが内積の計算からはcosΘ=1/√2とはなりません。cosΘ=2/√6になりますので45度ではないという結果になります。 何故、そうなるのか納得できません。ここが納得できないと次のステップに進めません。 非常に稚拙な質問だと思いますが、どなたか教えてくださいませんでしょうか。よろしくお願いします。

みんなが選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • f272
  • ベストアンサー率46% (7972/17042)
回答No.1

> 二つの成す角は45度だと思うのですが どうしてこう思い込んでしまったのでしょう? 45度というのは横に1行って,縦に1行くときの角度ですね。 今の場合は原点からAまで横に√2行って,縦に1行ったのだから角度は45になりませんよ。

その他の回答 (2)

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.3

>二つの成す角は45度だと思うのですが 45°ではありませんよ。 何か間違った先入観をお持ちではないですか。 Θをθと書くと θは、辺の比が 1:√2:√3の直角三角形の一つの角ですから cosθ=(底辺)/(斜辺)=(√2)/(√3)ですよ。 一辺の長さが1の立方体の底辺の対角線A(1,1,0)の長さが√2 立方体の対角線B(1,1,1)の長さが√3、立方体の高さが1 を3辺とする直角三角形の角のどこが45°になるというのですか? 底面の対角線の長さを1、立方体の対角線の長さを√2と勘違いしていませんか?

madboon
質問者

お礼

皆様、早速の回答ありがとうございました。 皆様のおっしゃるとおり成す角は45度ではありませんね。 何故、45度だと思い込んでいたのか・・・ 納得できました。ありがとうございました。

回答No.2

>ベクトルの内積の定義はA・B=|A||B|cosΘと理解しており、ここからcosΘを求めます。 その通りです。 >ベクトルA(1,1,0)、ベクトルB(1,1,1)とした場合、二つの成す角は45度だと思うのですが 実はこれが違います。 空間座標で 点O(0,0,0) 点A(1,1,0) 点B(1,1,1) を考えると 三角形OABは OA=√2( =√(1^2+1^2+0^2) ) OB=√3( =√(1^2+1^2+1^2) ) AB=1( =√{(1-1)^2+(1-1)^2+1^2} ) という OBを斜辺とする直角三角形になります。 もし角度θが45°なら OB=√2 OA=1 でないといけないですね。 だから内積の計算からはcosθ=1/√2とはなりません。 cosθ=2/√6であっています。 なぜならθ≠45°だからです。

関連するQ&A

  • ベクトルの内積

    ベクトルの内積を勉強していて、ふと思ったのですが、 ベクトルの内積計算において、 3つのベクトルをかけることはできるのでしょうか? ベクトルA,B,Cにおいて A・B = |A|・|B|COSθ となるのと同じように A・B・C =? これもどうにかして計算することはできるのでしょうか?

  • 2つのベクトルの内積を求めよ?

    次の2つのベクトル→a,→bの内積を求めよ。 (1)→a(1,3,-2) →b(3,-2,-2) (2)→a(-1,5,3) →b(4,-2,1) という問題があったのですが、わからなかったので答えを見たところ 計算式が→a・→b=|→a||→b|cosθと書いてあったのですがこのcosθがどこからくるのかわかりません。。。教えてください。

  • ベクトルの内積なのですが・・

    ベクトルの内積の説明文に「 → →  →  →            → → a ・b=|a||b|cosθ    である。aとb のなす角をθとすると-1≦cosθ≦1であるから  →    →  → →   →   →       -|a||b|≦a・b ≦|a||b|  すなわち  → →    →   → |a・b|≦|a||b|  が成り立つ」とあったのですが、どういうつながりでいきなり「成り立つ」ということになったのかわかりません・・  教えてください!! 宜しくお願いします・・!!

  • ベクトルの内積って何?

    角A=90度 AB=5 AC=4 の三角形において次の内積をもとめよ。 というばあいベクトルBA・BC=絶対値のベクトルlBAl・lBClcosαという感じになりますよね。 けど、別の問題では、次のベクトルa,bの内積と、sのなす角θ(0度≦θ≦180度)を求めよ。 ベクトルa=(-1,1) b=(√3 - 1,√3 +1) という問題では内積は、ベクトルa・b=2 となっています。 コサインはいらないのでしょうか・・・? 成分表示をされてるときはいらないのかな・・・とおもいました。 高3なのですが・・・。あまり深い知識はいらないのですが、この2つの何が違うのか?考え方を教えていただけたらと思います。お願いします。

  • ベクトルの内積、どうしてそのように定義するの?

    簡単のために2次元ベクトルを考えます。 →       → a =(a1,a2), b=(b1,b2) とすると、 → →   →  → a ・ b = |a| ・ |b| ・cosθ =a1b1+a2b2 と内積が定義されますが、なんの理由、なんの目的があってそのような定義がされるのでしょうか?

  • ベクトルの内積について…

    こんばんは。 数Bでどうしてもわからないことが あるのです… ベクトルの内積のところなんですが、 → →  → → a・b=|a|・|b| ・cosθ ↑の式ではなぜcosθを使うのですか? sinθでもtanθでもなくcosθを使う 決定的な理由ってなんでしょう?? 高2でもわかる程度でご説明お願いします↓

  • ベクトルの内積の問題です!!教えてください

    次のベクトルaベクトルの内積と、そのなす角θを求めよ。 (1)aベクトル=(-1,1),bベクトル=(√3-1,√3+1) (2)aベクトル=(1,2),bベクトル=(1,-3) 何から始めればいいのかがわかりません…。 よろしくお願いします。

  • ベクトルの内積の求め方について

    先日ベクトルを習いました。 そもそも三角関数の時点でつまづいていますが 授業が普通の授業では無いので 復習をする時間も無ければ、それまでにつまづいていた中学箇所の復習もできず この状態でベクトルの内積の求め方でつまづくのは当たり前なのですが 質問させていただきます。 三角関数ができないとベクトルの部分は難しいというのは重々承知の上ですので 三角関数を先にやってから等々の回答はご遠慮させていただきます。 問題は [A]=2[i]+3[j]-[k] [B]=[i]-3[j]+2[k]のとき 内積[A]・[B]を求めなさい。 []は全てベクトルです。 で、 その前に内積の求め方を [A]・[B]=|A||B|cosθ と習っており この式の意味も分かっていたのですが、 (例えるなら1+5=2+3ということですよね) この問題を解きなさいって言われた時に それまでで、色々分からないことだらけで、 どうしよう、と焦ってしまい 上記の求め方の式を例えると3=1+2という感じに勘違いしてしまいました。 答え合わせの時に、なんで、こんな勘違いをしたんだろうという事は思いました。 ただ、係数だけを掛け算するというのは分からなかったので、 単純に両者を掛けたとしても、答えは間違っていたと思います。 なので本来は普通に両者を掛ければいいのですが 勘違いしてしまったので、両者の絶対値を掛けて、cosθを掛ける?という解き方をしたのですが 式が上手く組み立てられず私は下記のような解き方をしました。 (そもそも三角関数分からないので、cosθをどのような形で使えばいいかが分かりませんから、こちらの式でも答えには行き着かないので、結果|A||B|の計算というような感じです。 絶対値は係数の2乗の平方根ということは教わったので 2^2+3^2-1^2  1^2-3^2+2^2 =√12     √-4 =-√48 ちなみにですが、|A||B|の計算と考えたら、上記の式はあっていますか? 見て分かるかと思いますが、前半が|A|で後半が|B|です。 その間にスペースを置いたのは、ノートにもそう書いてます。 その間に入れる符号等が分からなかったのでそうしました。 ただ√12と√-4は掛け算なので、その部分には×を入れても良かったのですが、 それまで符号を入れなかったので、入って無いという感じです。 符号が入ってない時点で式としておかしいのは分かっていますが 書き方が分からなかった物で |A||B|だとするならば、掛け算ですが、前半と後半それぞれに()をつけて ×を間に挟むと、展開みたいなかけ方になるからおかしいよなと思い書けませんでした。 |A||B|cosθは私は解けないので |A||B|と見た場合に、上記解き方は合っていますか? この場合、符号をどういうふうに書けばいいのかも教えて欲しいです。 また、間違っている場合は、どう間違っているか教えていただけると助かります。

  • 内積と外積について

    内積と外積について 2つのベクトルをA,Bと表し、2つのベクトルのなす角をθとします。 また、A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)です。 内積はA・B=|A||B|cosθと表されこれはスカラー量です。 内積はAのBへの正射影とBの積(もしくは、BのAへの正射影とAの積)と認識しています。 また、A・B=axbx+ayby+azbzとも表されこれはスカラー量です。 A・B=|A||B|cosθ,A・B=axbx+ayby+azbzはどちらも内積の定義なのでしょうか? 外積は|A×B|=|A||B|sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。 外積はベクトル積と呼ばれることもあるようですが、 これは、外積の定義A×B=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-ayax)がベクトルとなるからベクトル積と 言われるのでしょうか? |A×B|=|A||B|sinθは定義ではないのですか? 以上、よろしくお願い致します。

  • ベクトルの内積と掛け算の違い

    ベクトルの掛け算というものはあるのでしょうか? 例えばaベクトル(a1,a2)、bベクトル(b1,b2)という2つのベクトルがあるとき、この2つのベクトルの掛け算はどうなりますか?そもそもベクトル同士の掛け算はあるのでしょうか? また、内積はaベクトルの大きさ×bベクトルの大きさ×cosΘとなり、aベクトル・bベクトルで表されますが、これは掛け算とは違いますよね? また上の2つのベクトルを利用すると aベクトル・bベクトル = a1b1+a2b2 と、a1b1+a2b2で計算して出すこともできますがこれもベクトルの掛け算とは言わないのですよね? なぜこんなことが気になったかというと、ある問題の解答が分からなかったためです。 問) aベクトル、bベクトルが次の条件を満たすとき| 2aベクトル-bベクトル |の値を求めよ(「 | 」は絶対値です)。 ●条件 | aベクトル | = 1 , | bベクトル | = 4 , aベクトルの・bベクトル = 2 上の問題の解答が、| 2aベクトル-bベクトル | を二乗して、 4aベクトル・aベクトル - 2aベクトル・bベクトル - 2bベクトル・aベクトル + bベクトル・bベクトル となり、内積の性質を利用し、 4 |aベクトル |^2 - 4aベクトル・bベクトル + |bベクトル|^2 となり、答えは12になります。 この二乗したもの(掛け算?したもの)を内積とみて、内積の性質を利用して解いていますが、そもそもこの掛け算を内積とみていいんですか?この・は掛け算の・ではなく内積の・なんですか? そもそも内積とはなんなんでしょう?・は掛け算じゃないって先生はいいますがもう頭がこんがらがってわかりません。 わかるかた、よろしくお願いいたします。