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ベクトルの内積

2つのベクトルの成す角を求めたいのですが、納得できる数値が得られず困っています。 ベクトルの内積の定義はA・B=|A||B|cosΘと理解しており、ここからcosΘを求めます。 ベクトルA(1,1,0)、ベクトルB(1,1,1)とした場合、二つの成す角は45度だと思うのですが内積の計算からはcosΘ=1/√2とはなりません。cosΘ=2/√6になりますので45度ではないという結果になります。 何故、そうなるのか納得できません。ここが納得できないと次のステップに進めません。 非常に稚拙な質問だと思いますが、どなたか教えてくださいませんでしょうか。よろしくお願いします。

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> 二つの成す角は45度だと思うのですが どうしてこう思い込んでしまったのでしょう? 45度というのは横に1行って,縦に1行くときの角度ですね。 今の場合は原点からAまで横に√2行って,縦に1行ったのだから角度は45になりませんよ。

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>二つの成す角は45度だと思うのですが 45°ではありませんよ。 何か間違った先入観をお持ちではないですか。 Θをθと書くと θは、辺の比が 1:√2:√3の直角三角形の一つの角ですから cosθ=(底辺)/(斜辺)=(√2)/(√3)ですよ。 一辺の長さが1の立方体の底辺の対角線A(1,1,0)の長さが√2 立方体の対角線B(1,1,1)の長さが√3、立方体の高さが1 を3辺とする直角三角形の角のどこが45°になるというのですか? 底面の対角線の長さを1、立方体の対角線の長さを√2と勘違いしていませんか?

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質問者からのお礼

皆様、早速の回答ありがとうございました。 皆様のおっしゃるとおり成す角は45度ではありませんね。 何故、45度だと思い込んでいたのか・・・ 納得できました。ありがとうございました。

  • 回答No.2

>ベクトルの内積の定義はA・B=|A||B|cosΘと理解しており、ここからcosΘを求めます。 その通りです。 >ベクトルA(1,1,0)、ベクトルB(1,1,1)とした場合、二つの成す角は45度だと思うのですが 実はこれが違います。 空間座標で 点O(0,0,0) 点A(1,1,0) 点B(1,1,1) を考えると 三角形OABは OA=√2( =√(1^2+1^2+0^2) ) OB=√3( =√(1^2+1^2+1^2) ) AB=1( =√{(1-1)^2+(1-1)^2+1^2} ) という OBを斜辺とする直角三角形になります。 もし角度θが45°なら OB=√2 OA=1 でないといけないですね。 だから内積の計算からはcosθ=1/√2とはなりません。 cosθ=2/√6であっています。 なぜならθ≠45°だからです。

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