ベクトルの内積の記号

質問

２つのベクトルの内積の標記の仕方で，
成分での標記が教科書に載っていませんが，
（１，２）・（２，３）＝２＋６＝８
というように成分表示された２つのベクトルの内積を
このようにかいてもいいのでしょうか？
１回だけ問題集で見たことがあります
よろしくお願いします

回答No.7

aquarius_hiro · ベストアンサー

ANo.4です。

えー？と思いました。
どう考えても、大丈夫ですよー(^^;)

まず、採点する大学の教員は文部科学省の指導や好みのことなんて知りませんし、もし仮に知っていても、採点のときにまでそれを考慮しないですよ。（問題を作るときには注意することが多いですが。）
普通に考えてちゃんと正しい書き方なら、採点のときに減点しません。ご質問のケースは、普通に考えてちゃんと正しい書き方です。

つまり、「・」（ドット）を使って、内積を表現する書き方は、普通に使われていますし、採点する教員もそれは知っているわけですから、大丈夫です。仮に高校で習っていなくてもです。

文部科学省の指導は、学習内容が難しくなりすぎることを抑えようという意味で、教える側や問題を作る側に対する制限であり、受験生にまでそれを強要し、違う書き方をしたら間違いにしてやろうという意図のものではないです。

また、そんなことはないと思うけど、もし仮に採点者の「流儀」に合わなくても、その理由で解答を間違いにしたら、それは一種の「採点ミス」になります。採点ミスがあれば、採点した人は後で言われると自分が困るから、そんなことはしません。答案はちゃんと数年保存されます。

採点者が有り得ないぐらいの余程のとんちきなら何が起きるかわかりませんが、それは正解でも×にされる心配と同じ話です。

別に反論したいわけではないのですが、採点者の心証を気にするなら、きちんと筋道立てて書いてあるかとか、必要な説明が省略されていないかとか、そちらの方が大事なのであり、普通に使われている書き方をしている限り、それについてまで心証の心配はしなくて良いですよ。（そんなにびくびくしなくてもよいということです。）

> 　　　　　（２）
> （１，２）　　　　＝　　とはなります。
> 　　　　　（３）

この書き方は、1行2列の行列と、2行1列の行列の、行列の掛け算で、それはそれで成立っています。逆に、この書き方で「・」を打ったら減点されるかもしれません。普通は行列の掛け算には「・」を打たないので。

一方、(1,2)・(2,3) は、ベクトルA=(1,2)、ベクトルB=(2,3)と定義したときに、A・Bという内積の「・」を使った書き方に、そのまま(1,2)と(2,3)を代入しただけですから、上の書き方となんら矛盾するものではないです。（ベクトルA,Bにはちゃんと上に「→」をつける。大学では太文字にして書くこともあります。）

逆に横ベクトル二つ並べた(1,2)・(2,3)の書き方で「・」が無いと減点される可能性は結構有ります。両方横では、行列としては掛け算できませんし、「・」がないと、どういう演算かが明確ではないので。（内積とは別に「×」を書いて外積というものも存在しています。また全く異なるテンソルの意味にもなりえます。）大学の教科書などで省略されているものもありますが、初学者はきちんと書いたほうがよいです。

「・」を使わない場合には、((1,2),(2,3))の書き方でも内積になります。

なお、英語でも「内積」（inner product）のことを、dot product ということもあるし、外積を cross product と言うことがあるぐらいです。ちゃんと辞書（物理・数学専門の用語辞典）にも載っています。

ちょっとくどくなりましたので、もうこれ以上書きませんが、結論として、横ベクトル二つ並べて内積にするなら「・」を打たないと間違いになりますし、逆に「・」があれば、書き方について心配する理由はありません。他意はございませんので、どうぞあしからず。

お礼

ありがとうございます。情報開示もあるので，大学受験では減点されそうには内容ですね。
((1,2),(2,3))ははじめてみました。

回答No.9

masudaya

何かすごい話になっているようですね.
行ベクトルと列ベクトルの積の場合は一般に・はつけません.
なので

（1,2）・（2,3）は普通に内積という意味だと思います.

普通に書いて良いと思います.違和感も無いですし,

お礼

ありがとうございます

回答No.8

nyagumo

妙なことになってしまいましたね。
私は aquarius_hiro さんと同意見です。
以下、aquarius_hiro さんの ANo. 7 より引用させていただきます：

＞一方、(1,2)・(2,3) は、
＞ベクトルA=(1,2)、ベクトルB=(2,3)と定義したときに、
＞A・Bという内積の「・」を使った書き方に、
＞そのまま(1,2)と(2,3)を代入しただけですから、
＞上の書き方となんら矛盾するものではないです。

↑に反論できる人はいるのでしょうか？
文科省が件の書き方を嫌っていようが（これも本当？）、
正しいものは正しいのです。

しかし、変なことにこだわる人がいることも今知りました。　
このような人に採点されることは、　
避けようのない事故に遭うようなものだと思います。
この一点に関し、不安が残るならば、
教科書にあるように書いてもよいのではないでしょうか。

回答No.6

info22

高校では内積の書き方が明確に決められておらず、ただ1行2列の行列と2行1列の行列の積として計算し、計算結果の行列の1行1列の要素に内積が得られることから、明示せず、
「（1,2）と(2,3)の内積は1*2+2*3
という結果を定義(公式？)として使っているようですね。（アナログ積と呼ばれることもあります。）

大学での数学や物理（理学）や工学ベクトルとベクトルの積の演算は
ベクトルの内積（アナログ積）は「・」、
ベクトルの外積（ベクトル積）は「×」で
表します。
あながち
＞（１，２）・（２，３）＝２＋６＝８
という書き方は間違いとはいえませんね。ただ高校の範囲ではこのような表現を使わせない方針（文部科学省？）なのかも知れないです。
大学に進学すれば大手を振って
(→a)・(→b)＝|(→a)|・|(→b)|cosθ
((x1,y1),(x2,y2))=x1x2+y1y2
(x1,y1)・(x2,y2)
といった内積の表現法が使われますね。いずれも同じ内容を表す表現ですね。
高校や入試の答案では使えなくても覚えておいていいかも知れませんね。
数学や科学の分野では本来「ここが高校と大学の境界」だという線が引かれているわけではないですから。

回答No.5

kkkk2222

（１，２）・（２，３）　と書いても良いとは思います。
ただ現実には、採点に影響が皆無とは断言できません。

（１，２）・（２，３）は、確かに教科書には記載されていません。

理由は、数学Ｃで（行列）の（特殊形・あるいは導入）として、

　　　　　　　（４）
（１，２，３）　（５）＝１＊４＋２＊５＋３＊６＝　と記載されています。
　　　　　　　（６）

これは、内積と同じ意味のため、
文部科学省が（嫌って）いる気がしてなりません。

この方式で、成分で書くならば　・（ドット）もつけずに、

　　　　　（２）
（１，２）　　　　＝　　とはなります。
　　　　　（３）

文部科学省に（逆らわない）とするならば、
　　　　　　（１，２）と（２，３）の内積は、２＋６＝８　
と書くことになります。

また、入学試験では採点者により、
（１，２）・（２，３）の表記が許されるか否か考え方が異なり、最悪の場合は、
（こんな表記しか出来ないのか）と心証を害する恐れがあるので、
この表記は使用しない方が賢明とは思います。

但し、自分だけしか見ない場合は、どう書いても良いので、
少しでも計算間違いを防ぎたいので両方を縦書きして、

（１）　　　（２）
　　　●　　　　　＝２＋６＝８　　としています。
（２）　　　（３）

学校の複数の教師に回答を求めても、
回答は様々と推測します。
ただ、ＰＯＳＳＩＢＬＥですがＰＲＯＢＡＢＬＥではないので・・・。

回答No.4

aquarius_hiro

jun123junさん、こんにちは。

> （１，２）・（２，３）＝２＋６＝８
> というように成分表示された２つのベクトルの内積を
> このようにかいてもいいのでしょうか？

全く問題なしです。

回答No.3

katadanaoki

すみません。
高校の教科書・問題集では、
（１，２）＋（２，３）
と書くのはありのようです。

ベクトルの大きさ
｜（１，２）｜＝√１＾２＋２＾２
とかくのはなしと思います。たぶん。

補足

＝　の定義を考えれば，質問のような書き方もありかなと思っていました。そうすると，ベクトルの大きさのこの表現もＯＫになりますが，確かに見たことはありませんね。あれば便利な記号ですね

回答No.2

katadanaoki

いいところに注目しましたね。

内積は、縦ベクトルどうし、横ベクトルどうし、行列としての積、と多少ややこしいところがあります。

なので、高校の教科書・問題集では、（１，２）・（２，３）と書かれていないと思われます。

同様に、高校の教科書・問題集では、
（１，２）＋（２，３）
とも書かれていないと思います。

たまに、口語的な文章を書く問題集では、そういったことが書かれていることもあると思います。

回答No.1

masudaya

内積は単純には
（x1,y1）・（x2,y2）=x1×x2+y1×y2

のことです.なのでそのように書いても構わないと思います.

お礼

早速の回答ありがとうございます。
あまり見ないだけで，定義されているということなんですね。