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行列の対角化について
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stripeさん、こんにちは。 行列の勉強をしているんですね。 行列の対角化とは、ある２次の正方行列から 対角行列を導く方法です。 対角行列は、 a 0 （ ） 0 b の形で表される行列のことです。 この形の行列の集合は、 加法、減法、乗法について閉じています。 （足したり、引いたり、掛けたりしても、また対角行列になっている） また、乗法についての交換法則も成り立ちます。 （対角行列Ａ，Ｂを持ってくるとＡＢ＝ＢＡ） なので、この形を作ることは、とても便利だと言えます。 さて、実際に、行列から、対角化行列を作りだすのは、 参考URLに書かれていますので、見てみてください。 a b Ａ＝（ ） c d という行列に対しての、固有方程式は、 ｜a-λ b｜ ｜c d-λ｜＝０ すなわち、 (a-λ)(d-λ)-bc=0 λ^2-(a+d)λ+(ad-bc)=0 でありますが、この２解λ=α、βとすると それぞれの固有値αとβについて 固有ベクトルが求まりますね。 その固有ベクトルを p1 q1 （ ） （ ） p2 q2 とすると、 p1 q1 αp1 βq1 p1 q1 α 0 Ａ（ ）＝（ ）＝（ ）（ ） p2 q2 αp2 βq2 p2 q2 0 β となることから、 p1 q1 Ｐ＝（ ） p2 q2 とすると、 α 0 ＡＰ＝Ｐ（ ） 0 β となることから、Ｐ＾（－１）ＡＰが対角化行列となる、というやり方です。 これは、覚えておくと便利なので、是非理解してください。頑張ってください。
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- keyguy
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対角化については次のことが重要です。 Ａ：正規行列はユニタリ行列によって対角化される。 ａ：ユニタリ行列によって対角化される行列は正規行列である。 Ｂ：実対称行列は直交行列によって対角化される。 ｂ：直交行列によって対角化される実行列は対称行列である。 Ｃ：ｎ次正方行列が対角化されるための必要十分条件はその行列が独立なｎ個の固有ベクトルを持っていることである。 欲を言えば Ｄ：ｎ次正方行列はｎ次正則行列によってジョルダンの標準形化される。
お礼
ご回答ありがとうございます。 僕は今のところ二次行列の対角化しかできないのですが、 参考にさせていただきます。 アドバイスありがとうございました！
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