行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化

質問

行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化
３次正方行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化が可能か求めていました。
固有ベクトルを(s,t,u)(長さ=1)、固有値をλとおいて、固有値方程式を解いていくとλ(3λ-2)=0 となり、λ=0,2/3 と解が２つしか出ないのですが、対角化は可能なのでしょうか？
さらに、λ=2/3を固有値方程式に代入すると(s,t,u)=(0,0,0)になり、固有ベクトル(s,t,u)の長さ=1に矛盾してしまいます。
対角化は不可能なのでしょうか？それとも求め方が間違っているのでしょうか？どなたかアドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

固有値から間違っている。λ = 0, 1, 2 になるはず。
貴方の求めた固有方程式と固有値を補足に書けば、
添削することができるかも。

お礼

計算ミスしておりました。ご迷惑おかけ致しました。アドバイスいただきましてありがとうございました。

回答No.2

post_iso

固有方程式は行列が３次行列なので、必ず３次方程式になります。
３次方程式なら、複素数解や重解があろうと必ず解は３つあり、固有値も３つになります。

固有値を代入して固有ベクトルを求めるとき、s = t = u = 0
となるのはトリビアな解です。
詳しく計算をしていませんが、λ=2/3が正しいとして固有ベクトルを求めると
s+(1/3)t+u=0
3s+t+(13/3)u=0
よりu=0
したがって
3s=-t
なので
(s,y,u)=(1,-3,0)/√10
が固有ベクトルになります。