行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化
- ３次正方行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化が可能か求めていました。
- 固有ベクトルと固有値を求めた結果、固有値方程式には0と2/3の解がありますが、固有値2/3の場合に固有ベクトルの長さが1にならないため、対角化は不可能です。
- 対角化の求め方に間違いがある可能性もあるため、他の方からアドバイスをいただきたいです。
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行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化
行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化 ３次正方行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化が可能か求めていました。 固有ベクトルを(s,t,u)(長さ=1)、固有値をλとおいて、固有値方程式を解いていくとλ(3λ-2)=0 となり、λ=0,2/3 と解が２つしか出ないのですが、対角化は可能なのでしょうか？ さらに、λ=2/3を固有値方程式に代入すると(s,t,u)=(0,0,0)になり、固有ベクトル(s,t,u)の長さ=1に矛盾してしまいます。 対角化は不可能なのでしょうか？それとも求め方が間違っているのでしょうか？どなたかアドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。
- SATA_YUKI
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固有値から間違っている。λ = 0, 1, 2 になるはず。 貴方の求めた固有方程式と固有値を補足に書けば、 添削することができるかも。
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- post_iso
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固有方程式は行列が３次行列なので、必ず３次方程式になります。 ３次方程式なら、複素数解や重解があろうと必ず解は３つあり、固有値も３つになります。 固有値を代入して固有ベクトルを求めるとき、s = t = u = 0 となるのはトリビアな解です。 詳しく計算をしていませんが、λ=2/3が正しいとして固有ベクトルを求めると s+(1/3)t+u=0 3s+t+(13/3)u=0 よりu=0 したがって 3s=-t なので (s,y,u)=(1,-3,0)/√10 が固有ベクトルになります。
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