行列の問題です。

質問

A^2=Aをみたすn次複素正方行列Aは、対角化可能であることを示せ。
また、Aの階数とトレースは一致することを示せ。

Aの固有値をλ
固有ベクトルをuとすると
Aλ=λu
またA^2u=λAu=λ^2u
A^2=Aより
A^2u=Au=λuとなり、
λ^2=λ
したがって
λ=0または1

これから対角化可能までたどり着けません。

対角化できれば、対角成分は1または0より階数とトレースは一致することは分かります。

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

最小多項式における根の重複度は、その根に対するジョルダン胞の最大次数を表します。
質問の A では、固有値 0, 1 がいづれも A^2 - A = 0 の単根であるため、
ジョルダン胞の最大次数は 1 次、すなわち、A は対角化可能です。

回答No.2

Tacosan

ジョルダン標準形は使っていい?