直交変換

質問

Z-軸を軸とする角θの回転で、ベクトル　ｘ＝（　ｘ　ｙ　ｚ　）＾Ｔ　を
ベクトル　ｘ’＝（　ｘ’　ｙ’　ｚ’　）にうつしたのち、y-軸を軸とする角φの回転で、
ベクトル　ｘ’＝(　ｘ’　ｙ’　ｚ’　）＾Ｔ　をベクトル　ｘ”＝（　ｘ”　ｙ”　ｚ”　）＾Ｔに
うつしたとき、ベクトルｘをベクトルｘ”にうつす直交変換の行列表示の求め方を教えてください。

回答No.1

alice_44

ベクトルの名前と成分との両方に、同じ x を使っているのはイタダケナイが…

列ベクトル x を x' へ移す写像は、左から
cosθ　-sinθ　0
sinθ　 cosθ　0
0　 0　1
を掛けること、

列ベクトル x' を x'' へ移す写像は、左から
cosφ　0　sinφ
0　1　 0
-sinφ　0　cosφ
を掛けることです。

軸に垂直な平面内で考えれば、二次元の回転ですから、
高校で習った回転行列を使って、上記の式は理解できるでしょう。
あるいは、θ と φ の回転の向きについて、確認が必要かもしれません。

x'' = Bx' へ x' = Ax を代入して、行列積 BA を計算すれば、
x を x'' ヘ移す写像の表現行列が現れます。