行列の変換での問題

質問

[問題文]空間において,x-z平面上の単位ベクトル(u,0,w)を考える。
　y軸まわりの回転を表す行列のうち、ベクトル(0,0,1)をベクトル
(u,0,w)に変換するものを求めよ。また求めた行列を利用して、(u,0,w)
を軸とする角度θの回転を表す行列を求めよ。

3次元空間においての変換だと思うんですが、y軸の周りとなるとどのような変換になるんでしょうか。
わかる人にはわかるという問題だと思います。

お願いします。

回答No.6

alice_38 · ベストアンサー

その理解でよいと思います。
合同変換とは、座標軸の置き換えですから、
x の系で見た A と
y の系で見た (P~-1)AP が、
座標系内の図形への操作としては
同じものを表している…と考えれば、
後者も A 同様に回転行列であることが
腑に落ちるでしょう。

お礼

何回も聞いてすみませんでした。ありがとうございました。

回答No.5

alice_38

そんなハズはないでしょう。
それでは、A = Q になってしまうし。

x2 = A x1 という回転操作があったとして、
x1 = P y1,
x2 = P y2 と座標変換して考えれば、
y の座標系では y2 = (P~-1)AP y1 と表せる
という話です。

補足

式の成立することはわかります。
x2 = A x1 を行う前に、x1 = P y1,x2 = P y2でy軸の回転をしたってことですよね。 座標変換する前の座標系で考えれば、y2 = (P~-1)AP y1
という変換で表せるということだと思うんですけど。そして、これを実際にx-y-zで図を考えたときのPはy軸まわりの回転を表す行列だから、Pで回転させてAでさらに(u,0,w)を軸をする回転を行い最後にp^(-1)でPの逆変換で戻すと、ちょうどz軸の回転行列になっているということですか？

なんか根本的に考えがおかしいんですかね。

回答No.4

alice_38

固有値もいいけれど、
ザクッと直感的にいってみましょう。

A が回転で、P が合同変換であるとき、
(P~-1)AP は、回転行列になります。
P は、合同変換であれば、
回転でなくても構いません。

これは、
合成変換を、P して、A して、P~-1 して…
と考えるかわりに、
対象図形に A を施すと同時に
座標軸系に P~-1を施すと考えるれば、
把握しやすいでしょう。
あとは、回転軸が P で何処へ移るかだけですね。

お礼

ある程度、理解できました。行列による変換において(P~-1)APの変換はA(P~-1)Pの順番でもいいんですかね。（この場合に限り？）

回答No.3

info22_

>＃２さんの(P~-1)AP の部分がわかりません。
少し行列論の勉強をしていただかないと理解することは難しいでしょう。

線形代数、固有ベクトル、行列の対角化、固有行列、行列の固有値,ユニタリ行列などの用語をネットで検索すれば、(P^-1)AP の詳細な説明がのっていると思います。今の質問者さんの知識ではまだ難しいかも知れません。もう少し行列論の勉強をした後であれば理解できるようになるでしょう。
いま一遍に理解しようとすればもっと難しいことを勉強しないといけなくなって、ますます分からなくなるかもしれません。
（参考）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/05unitr/080unt.html

現実的な対応は、より簡単な具体的数値の行列を使って、それぞれの式をから導かれる行列を計算して、PやP^-1やP^(-1) APを計算した結果と固有値を求めた結果と照合して見ると良いでしょう。

補足

一応行列に関しては勉強したのですが、まったく理解していないんですね；
(P^-1)APはなぜｚ軸のまわりの回転を表す行列になるんでしょうか？固有値、固有ベクトルを含めた考えでいいので示していただきたいです。漠然としていますが、一通り行列の対角化や固有ベクトルの図形的な意味はわかります。
ここでw=cosθ,u=sinθなんですかね；
お願いします。

回答No.2

alice_38

前半:
y軸周りの回転は、y座標を変えず、
xz座標については、2次元の回転になります。
2次元の回転行列
w u
-u w
が分かれば、y軸周りの回転行列は、
w 0 u
0 1 0
-u 0 w
と分かるでしょう。
この行列を P と置きます。

後半:
求めたい回転行列を A と置くと、
行列積 (P~-1)AP は、
z軸周りの角θの回転になります。
前半同様の考えで、
z軸周りの回転行列 Q が求まりますから、
A = PQ(P~-1) と求めることができます。
ここで、P~-1 は、P の逆行列の意味です。

回答No.1

info22_

3次元のアフィン変換を使えばできるでしょう。
やり方の詳細は次のURLに書かれていますので、各軸の周りの回転移動についてわかりやすく丁寧に説明されていますので、少し勉強してみてください。
（参考URL）http://ft-lab.ne.jp/cgi-bin/wiki.cgi?page=%A5%A2%A5%D5%A5%A3%A5%F3%CA%D1%B4%B9_3DCG

わかるようになったら、あなたの解答を作って途中計算を補足に書いて下さい。
行き詰ってわからない箇所があればその箇所について質問してください。

補足

変換についてはわかりました。ありがとうございました。

＃２さんの(P~-1)AP の部分がわかりません。