直交変換で標準形を求める
- 直交変換により、与えられた式の標準形を求める問題です。
- 標準形は固有値から求めることができます。
- ただし、ただ標準形にするだけではなく、直交変換の性質も考慮する必要があります。
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直交変換で標準形を求める
直交変換x = Tyを用いて f = 2(x1)^2+5(x2)^2+4(x1)(x2)…[1] （x1とx2はそれぞれ要素です） の標準形を求め、さらにTを求めよという問題です。 標準形については[1]式を (x1 x2) |2 2| (x1 x2)^t = xAx^t |2 5| と変形して、Aの固有値を求めλ=1、6となりました。 固有値から標準形は f = (y1)^2+6(y2)^2 と求めました。 このときT = A =|2 2| |2 5| という答えにしていいのでしょうか。 これではただ標準形にしただけで、間違っているような気がします。 直交変換について調べてみても T(a)・T(b) = a・b が成り立つTのこと、ということしかわかりませんでした。 どなたか教えてください。
- cheshi
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えっと、ダメです。おっしゃるとおり、まだ足りません。 xをyの線形変換Tで記述すると、以下になる。 [1]=x^tAx=(Ty)^t(A)(Ty)=y^t(T^t A T)y さて、標準形というのは、T^tATを対角化するようなTを求め、 対角要素（固有値）を求めることに等しいです。 なので、Tを求めましょう。
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