直交座標系の変換

質問

平面における直交座標系{O';e1',e2'}に関し、点O'の座標を(4,2)とし、ベクトルe1',e2'は次を満たすものとする。

e1'=3/5*e1-4/5*e2 , e2'=a*e1+b*e2 (a>0)

このとき、{O';e1',e2'}が平面の直交座標系となるようにa,bを求めよ。

P=O+x*e1+y*e2・・・(1)
P=O'+x'*e1'+y'*e2'・・・(2)

P=O'+x'(3/5*e1-4/5*e2)+y'(a*e1+b*e2)・・・(3)
(3)にO'を代入したあとに、変形させて、(1)と係数の比較をし、a,bを求めるのだろうというのはわかるのですが、ここで、O'がわからないのでどうやったらいいのかわからないのです。。O'の座標が分かっているということを使うんだろうという予想はつくのですが、どう使ったらいいのか分かりません。
どうかご指導よろしくお願いします。

回答No.1

benzo2 · ベストアンサー

こんにちは。
数学は苦手ですが、答えらしきものを思いついたので参考までに。

e1'とe2'を行列で表すと

e1'=(3/5 -4/5), e2'=(a b)

前者を横ベクトル、後者を縦ベクトルとして内積を求めると

e1'・e2'=3a/5 - 4b/5

2つのベクトルが直交するとき内積＝０なので

3a/5 - 4b/5 =0 よってb=3a/4

基底ベクトルの大きさが|e1'|=|e2'|=1より

|e2'|^2=a^2 + b^2
=a^2 + (3a/4)^2 =25a^2/16 =1
よってa^2=16/25 a>0より a=4/5, b=3/5

これを質問者様の（３）式に代入すれば、
平面上の任意の点Pを表現することができます。

O’の座標を使うことなくやってしまいましたが、
それはこの後に続く問題で使うのでしょうか？
答えにあまり自信がないので、訂正等ありましたらご指摘お願いします。

お礼

ありがとうございました★

試験も無事終わりました(　´∀｀)