極座標に関する質問です。

質問

極座標に関する質問です。
２次元デカルト座標系の単位ベクトルをｅ_x,e_yとすると任意のベクトルPは、P=Ae_x+Be_yで表され
るのはわかるのですが、（この時A,Bは同じ単位で例として距離とします。）これを単位ベクトルe_r,e_θの極座標を用いて、P=Ce_r+De_θで表すと、Cは原点からの距離、ではDはいったい何になるのでしょうか？（Dの単位は何？）
局座標からデカルト座標への変換は、分かるのですが、単位ベクトルを用いた極座標の表し方に疑問を感じました。
誰か詳しい方お願いします。

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

No.5 の例は、e_θ が定数ベクトルでなく
r ごとに変わるので、注意が必要です。
e_r, e_θ を基底とする二次元ベクトル空間
を考えている訳ではありません。

e_r, e_θ を定数ベクトルとして C e_r + D e_θ を考えると、
ひとつの二次元ベクトル空間ができますが、この空間は、
もとの A e_x + B e_y がなす空間とは全く別物です。
例えるならば、地球儀と平面地図の関係になります。

ですから、A e_x + B e_y = P = C e_r + D e_θ と
してしまうことは、ナンセンスです。
A e_x + B e_y はデカルト座標上にあり、
C e_r + D e_θ は極座標上にあります。
直接比較したり、イコールで結んだりすることはできません。
A e_x + B e_y と C e_r + D e_θ を比較するには、
間に極座標変換を介在させる必要があるのです。

回答No.5

hitokotonusi

ANo3の補足について

＞位置ベクトルPを、e_r,e_θを用いて表すのは、ナンセンスということでしょうか？

どうしてナンセンスだと思うのでしょうか？

たとえば、角速度ωの等速円運動の場合

位置ベクトル　　r↑＝r e_r
速度ベクトル　　v↑＝rω e_θ
加速度ベクトル　a↑＝-rω^2 e_r＝-ω^2 r↑

となるわけですが、これで、

位置ベクトルと速度が直交する、
加速度ベクトルは位置ベクトルと同じ方向で逆向き

とすぐに分かるので、意味が明確です。

回答No.4

alice_44

P = C e_r + D e_θ では、ないですね。
デカルト座標で (A, B) と表された点 P が
極座標で (C, D) と表されるとすれば、
P = A e_x + B e_y,
f(P) = C e_r + D e_θ です。
ここで、f( ) は極座標変換を表す写像です。
P が属する二次元空間と
f(P) が属する二次元空間は、
別のものなんですよ。

回答No.3

hitokotonusi

ANo2さんは極座標について誤解されています。

ある物体の位置を指定するのに極座標では動径の長さrと偏角θを使って(r、θ)と書きますが、これは、

r↑＝r e_r + θe_θ

という意味ではないですよ。この点で、デカルト座標系とはまったく違います。

デカルト座標系の(x、y)は、座標の指定であると同時に直交座標系の基底を使った場合の位置ベクトルの成分表示でもありますが、極座標系では、(r,θ)は座標の指定であって、極座標系の基底を使った場合の位置ベクトルの成分表示ではありません。

極座標系の基底ベクトルは、動径方向の単位ベクトルと、それに直交する円周方向の単位ベクトルで、もちろん、次元などは持っていません。

位置ベクトルだと分かりにくいので速度ベクトルを例に取りますと、極座標での速度ベクトルは

v = (dr/dt)e_r + r(dθ/dt)e_θ

で、Cは(dr/dt)、Dはr(dθ/dt)でどちらも速度の次元を持っています。

円運動をしている質点なら、C=(dr/dt)＝０なので

v = r(dθ/dt)e_θ

つまり、円周方向にr(dθ/dt)の速度を持つことになります。
角速度dθ/dtをωと書けばrωで、おなじみの形だと思います。

補足

かなり詳しく説明いただきありがとうございます。
どうしても気になってしまうんですが、つまり位置ベクトルPを、e_r,e_θを用いて表すのは、ナンセンスということでしょうか？

回答No.2

alice_44

D は偏角を表すのですから、その単位は
[ラジアン]なり、[度]なり、適切に設定
すればよいです。
C と単位が違うって？ それは構いません。
e_r と e_θ (の成分)に単位がついていて、
C e_r と D e_θ (の成分)の単位がそろう
ように単位換算されるのです。
(A,B) の単位と (C,D) の単位が異なるのは、
曲座標変換の前後で変わるのであって、
D e_θ が長さの単位を持つ訳ではないんです。

回答No.1

hitokotonusi

＞P=Ce_r+De_θで表すと、Cは原点からの距離、

原点からの距離ということはPは位置ベクトルですね。
位置ベクトルは必ず動径方向を向きますから、Dはありません。
位置ベクトルなのでr↑とかくと、

r↑＝ｒe_r

です。

一般のベクトルなら単にCはr方向成分、Dはθ方向成分で、座標系の回転と同じです。
違うのはe_r、e_θが物体の移動によって時間に依存するという点。