線形代数学 ベクトル(0,1,1)を軸とするθの回転を与える行列

質問

線形代数学を最近学び始めて、いきずまってしまいました。

任意のベクトル（でいいのかな）を軸とするθの回転を与える行列を求める問題です。
問題として
３次元ユークリッド空間に直交座標x,y,zを入れて考える。
（１）x軸の周りのπ／４だけの回転を表す行列Qを求めよ。
（２）ベクトル(0,1,1)を軸とするθの回転を与える行列Q(-1)Rz（θ）Qを計算せよ。

　※Q(-1)はQの逆行列です。Rz(θ）はｚ軸の周りのθ回転の行列です。

（２）がわからなくて困っています。
行列Q(-1)Rz（θ）Qという形は対角化の形に似ているのですが、
これは、対角化を考えた時に、ベクトルが(0,1,1)がx軸と直角に交わっているからQが直行行列になるのかな～とか、思うのですが、
θ回転するのに対角行列が出てくる意味が少しわからないので、
（２）でなぜ行列Q(-1)Rz（θ）Qになるのか、解説をお願いします。

ちょっとわかりにくい文章になってしまってるかもしれませんが、
申し訳ありません・・・。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>　２）がわからなくて困っています
> 行列Q(-1)Rz（θ）Qという形は対角化の形に似ているのですが、
式は似てるけど、対角化とは全然関係ありません。
ベクトルXを列ベクトルで扱う場合は、
(1)で求めた行列Qは、
回転軸のベクトルt(0,1,1) (tは転置を表すもので行ベクトルを列ベクトルにするため転置をとっている)をx軸の周りにπ/4回転してZ軸に重ねる回転移動行列になります。
Qt(0,1,1)はベクトルt(0,1,1)を回転回転移動してz軸に一致させた列ベクトルを表します。
これにz軸の周りの反時計回りにθ回転する行列Rz(θ)を前からかけると
回転軸ベクトルは Rz(θ)Qt(0,1,1) となります。

さらに、x軸の周りに-π/4だけ時計回りに回転移動する行列は　Q(-1)であるから、回転軸ベクトルは　
Q(-1)Rz(θ)Qt(0,1,1)
で元のt(0,1,1)にもどる。

最後尾の回転軸列ベクトルを除いた
Q(-1)Rz(θ)Q
が合成移動ベクトルになりますね。

#1さんの説明も合っていますね。

お礼

対角化とは関係なかったんですかー偶然同じような形になっただけだったんですね。
少し前に対角化の問題をやっていたもので、一緒だ！と思い込んでしまってました；
詳しい解説ありがとうございます＾＾
これですっきりしました。

回答No.4

kabaokaba

というか・・・
そもそも「向き」を考慮してるんだろうか．
単純なケースなら「偶然」で正解するんだろうけどね．

あとは。。。いちいち軸回転にしなくたって
線型写像なんだから基底の像，今回は
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)の像さえ
計算できれば十分だと思う．
計算そのものは高校レベルだけども
向きだけが問題．
＃「自然な向き」である像をどうやって選ぶということ

お礼

基底の像ですか、ちょっと頭から離れていました。
今回の問題で、皆さんにお答えいただいて、もう少し回転の原理（？）や
像について理解を深めたほうが良いなと思いました。

回答ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

対角化とは、似ているのですが…

対角化すると、この場合
固有値が虚数ですから、
対角行列も変換行列も
複素成分になってしまいます。

この場合、するべきは
「実ジョルダン化」です。

お礼

固有値のことを考えていませんでした！
形が似ているってだけで勝手に判断してしまいお恥ずかしい限りです・・・。

実ジョルダン化は初耳なので調べたいと思います。
回答ありがとうございました！

回答No.1

orcus0930

(0,1,1)を軸にしたままで、回転する前の座標と回転した後の座標がわかればいいんですが、
わかりにくいので、(0,1,1)をx,y,zのいずれかの軸に回転移動させて、θ回転させて、軸を(0,1,1)に戻せばいいんです。

(0,1,1)をｘ軸周りに45°回転させたらz軸と重なるので、z軸周りにθ回転させて、θ周りに-45°回転させればいいんです。

Q：45°まわして、
Rz(θ)Q:θまわして
Q^(-1)Rz(θ)Q:元の軸に戻す
でこの計算が出てくるわけです。
同様に考えれば、Q*Ry(θ)*Q^(-1)でも同じ結果が得られます。

お礼

そういうことだったんですね!!!
なぜ45度のやつなんだろーっていうのも気になっていたので
すっきりしました！

ありがとうございます＾＾