行列 対称 変換

質問

3次元（xyz）でx軸で折り返す対称な変換行列は
どのように作れば良いでしょうか？

y軸（x-z平面）の回転行列を使ってθ=π/2を
代入して作ってみると、
（0　0　-1）
（0　1　　0）
（1　0　　0）
と言う行列になりました。
間違いでしょうか？

3次元での対称は変換を表す
変換行列の作り方を教えて頂けないでしょうか？

また、直交行列は直交変換と関係がありますが
対称な変換と対称行列は全く関係ありませんよね？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>ベクトルを回転する場合は、
>1　　0　　　0
>0　cosθ　sinθ
>0　-sinθ　cosθ
>という認識でOKでしょうか？

普通は逆ですね。

「右手系」で、回転方向を X軸プラス方向に「右ネジ」で定義すると、
(0, 1, 0) というベクトルの回転は(0, cosθ, sinθ)に
なりますよね。

http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-105.html

お礼

ご回答ありがとうございました。

再度質問させて頂きます。
ご回答頂ければありがたいです。

以上、よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございました。
お礼が遅くなり申し訳ございません。

すいません。。。
勘違いしていました。

＞普通は逆ですね。
逆でした。

同様にy軸対称はy軸での回転行列を使って
z軸対称はz軸での回転行列を使ってπ回せば
良いのでしょうか？
↑
この認識は正しいでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>どのように導かれるのでしょうか？

X軸でクルッとπ回すので、回転行列は

1　　0　　0
0　cosθ　-sinθ
0　sinθ　cosθ

なので、θ=πとすると

1　0　0
0　-1　0
0　0　-1

要するに yとzを符号反転する対称です。
x-z, x-y 平面で２回鏡映変換しても同じですね。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

1　　0　　0
0　cosθ　-sinθ
0　sinθ　cosθ
は座標系の回転行列と認識していますが
ベクトルを回転する場合は、
1　　0　　　0
0　cosθ　sinθ
0　-sinθ　cosθ
という認識でOKでしょうか？

また、同様にy軸対称はy軸での回転行列を使って
z軸対称はz軸での回転行列を使ってπ回せば
良いのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

No.2 です。

X軸に対する軸対称(回転対称)なら

1 0 0
0 -1 0
0 0 -1

補足

ご回答ありがとうございます。

基本ベクトルが
（1　0）
（0　1）
の2次元でx軸に対する軸対称は、
（1　0）
（0　-1）
です。

1 0　 0
0 -1 0
0 0 -1
はどのように導かれるのでしょうか？

y成分は、2次元と同じで
0
-1
0
となる事は分かりました。

z成分の
0
0
-1
がなぜそうなるのかわかりません・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>3次元（xyz）でx軸で折り返す対称な変換行列は

「x軸で折り返す」という表現は２次元で使う表現だと
思うのですが、「x軸での回転対称位置に変換」という意味
でしょうか？

ならばX軸で π 回すだけですけど？？？

補足

ご回答ありがとうございます。

xyz座標で基本ベクトル
（1　0　0）
（0　1　0）
（0　0　1）
を、x軸で折り返す（対称）ような移動を考えています。
折り返すと言う表現は3次元ではしないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

kabaokaba

点(a,b,c)のx軸に関する対称な点の座標は？
これさえわかればできるんじゃない？
高校の空間ベクトルの基本問題じゃないかな．

＞y軸（x-z平面）の回転行列を使ってθ=π/2を代入して作ってみると、

意味がわからない
なんでy軸で90度まわすの？
y軸（x-z平面）って・・・なんでy軸がx-z平面？
＃確かにy軸はx-z平面の法線ではあるが・・・

＞対称な変換と対称行列は全く関係ありませんよね？

対称な変換って何？

補足

ご回答ありがとうございます。

すいません。。。

xyz座標で基本ベクトル
（1　0　0）
（0　1　0）
（0　0　1）
を、x軸で折り返す（対称）ような移動を考えています。
そもそもこんな移動は出来ないのでしょうか？

例えば、x軸回りにベクトルをθ回転する行列は、
（1　0　0）
（0　1　0）
（0　0　1）
を用いて、
（1　　　0　　　　　0）
（0　cosθ　　sinθ）
（0　-sinθ　cosθ）
と作れます。

2次元での対称移動は簡単にわかるのですが、
3次元で考えてみると途端にわからなくなりました。

＞なんでy軸で90度まわすの？
y軸（x-z平面）の回転行列でちょうど
θ=π/2回転するものと同じに考えられる？
と思った次第で・・・

対称な変換とは対称に移動することです。
そんな言葉はないんですね・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。