対称行列のルート

質問

n次対称行列X,Yを考えます。ともに正定値であると仮定して、正の数αがあってX≧α,Y≧αとなっているします。（固有値が全部α以上という意味です）ここで行列のノルムを考えたいのですが、たぶん別にどんなノルムでもいいと思うので、とりあえずフロベニウスノルム（成分の2乗和のルート）を考えることにします。他のノルムで示されるのであればそれでも構いません。たとえばn次元ベクトル空間への正値対称作用素だと思って作用素ノルムをとるなど。

このとき
||√X-√Y||≦||X-Y||/2√α
が成り立つことを示したいのですが、どうしたらよいでしょうか。正しい式かどうかもわからないのですが、たぶん示せることだとは思うのですが。あと最悪、右辺にX,Yに無関係な定数がつくのは構わないです。なお√は対称行列の正の平方根にとります。

回答No.2

ringohatimitu

すいません、ちなみに有界線形作用素a,bがa≧b≧0のときa^2≧b^2は成り立つと思います？反例すぐ作れますか？

補足

すぐにはわからないです。

回答No.1

ringohatimitu

X,Yが可換ならば成り立ちますがそうでない場合は今のところ成り立つかどうか分かりません。可換とは限らないんですよね？

お礼

ありがとうございます。可換なら確かに正しいですが、可換じゃない場合にも示したいです。成り立つかどうか不明なのですが、反例もなかなか作れないので、正しそうな気がするのですが．．．