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すべてのヒルベルト空間Hは、正規直交基をもつ？
前回の質問と同じなのですが、 投稿文が長くなるので、再度書きました ある参考書に書いてあったのですが、 〔定理〕 すべてのヒルベルト空間Hは、正規直交基をもつ 《証明》 Ｖで正規直交系Ｅを考える 包含によってＥを考える；（つまり、Ｓ_1⊂Ｓ_2ならば、Ｓ_1＜Ｓ_2と言う） ＜のこの定義で、Ｅは半順序である；ｖがＶの元であるから、空でない そして、集合がｖ/∥ｖ∥だけから成り、正規直交系です いま、｛Ｓ_α｝_α∈Ａ をＥの線形順序部分集合であるとする。 それから、∪_α∈Ａ Ｓ_α は、正規直交系です； それぞれのＳ_αを含んで、｛Ｓ_α｝_α∈Ａのための上界である Ｅの線形順序部分集合が上界を持つことから、ツォルンの補題を用いて、 Ｅには極大元があると結論することができる。； つまり正規直交系は、他のもので真に正規直交系を含まない よく分からないところがあります ２行目 包含によって・・・ 証明済み ４行目 ｖ/∥ｖ∥だけから成り この部分がよく分かりません ５～７行目 ？？？ ８～10行目 ８割以上理解済み 現在このような感じです。 どなたか力を貸してくれると幸いです。 つたない文章ですが、よろしくおねがいします。
- xyz0122
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質問者が選んだベストアンサー
>Ｖ；ベクトル空間 >Ｅ；正規直交系を部分集合として含む、Ｈにおける正規直交系の全体 これは原文に書いてあったものですか。 問題のヒルベルト空間（当然ベクトル空間）はHですが、このHとVはどう関係してるのでしょうか。いきなり意味不明なVが出てきて疑問に思わないのでしょうか。Eについてはまるっきり意味不明です。自分で意味をきちんと捉えようとしていますか。 >Ｅは半順序である 本当に原文でこうなっていますか。半順序集合の間違いではないの？ それとも、その区別が分からない？
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- koko_u_
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>ツォルンの補題 > 順序集合Ａのすべての線形順序部分集合に上界が存在すれば、Ａには極大元が存在する > > だと認識しているのですが・・・ んで、今の問題で考えている順序集合Ａが何かを補足どうぞ。
- graphaffine
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xyz0122さん、今晩は。また、お会いしましたね。前の質問のとき言ったように、一般の計量ベクトル空間でも成り立ちそうですね。 で、証明ですが翻訳文（ですよね）は何じゃこりゃの状態です。xyz0122さんが訳したのでしょうか。まず、原文を確認してV及びEが何者であるかを明確にしてください。全てはそれからです。
- koko_u_
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ツォルンの補題がわかっているのかどうかを補足にどうぞ。
お礼
すみません、ずっとネット環境が無い所にいたもので・・・ 上の問題、大変でしたが解決できました。 ありがとうございました！！
補足
ツォルンの補題 順序集合Ａのすべての線形順序部分集合に上界が存在すれば、Ａには極大元が存在する だと認識しているのですが・・・
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お礼
すみません、ずっとネット環境が無い所にいたもので・・・ 上の問題、大変でしたが解決できました。 ありがとうございました！！
補足
Ｖ；ベクトル空間 Ｅ；正規直交系を部分集合として含む、Ｈにおける正規直交系の全体 めちゃくちゃな文章ですみませんでした。 ヒルベルト空間の中で、今はベクトル空間で考えているようです。