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アレフ0とアレフ1の和集合、、、

無限集合における確率に関して疑問が生じましたので、質問させてください。 集合Aをアレフ0の無限集合とする。 集合Bをアレフ1の無限集合とする。 集合Aと集合Bの積集合は空集合である。 集合Cを集合Aと集合Bの和集合とする。 質問1:任意に選んだ「集合Cの要素」が、集合Bの要素である確率を求めることができますか? 質問2:求めることが出来る場合、その確率は1ですか、1/2ですか、それともその他の確率ですか? (蛇足) 質問3:上記の定義を変更し、集合A、集合Bの濃度が同じだった場合、集合Cから選んだ任意の要素が集合Bの要素である確率は1/2と考えてよいでしょうか?

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  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

その、有理数∪無理数の例は、 区間 [0,1] にルベーグ測度を入れて 計算していることになります。 くどいようですが、濃度ではなく 測度が確率を決めること、 確率の値は測度の定義次第で変わること を理解しておいてください。 また、有理数を取り出す確率が 0 であることは、 確率 0 であることの意味が 「起こり得ない」ではなく「ほとんど起こらない」 であることの好例なので、覚えておくとよいです。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 この歳になるまで、「確率が0」とういのは「起こり得ない」ことを意味すると信じていました。 確率=0は確率≒0を包含しているということになってしまうのですかね? 無限といい、存在といい、確率といい、通常の日本語の意味とは別に数学バージョンがあるのですね。 私にとっては、無限が不思議の国の扉を開いてくれたようです。

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その他の回答 (4)

  • 回答No.4
noname#133363
noname#133363

2の礼は[0, 1]上の一様分布を考えるという意味? それなら普通の確率論。 選ぶのが無理数である確率は1。 蛇足については3の人と同意見です。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 確率=1ということの数学的意味をチャンと理解したいと思います。

  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

確率を計算するためには、集合の濃度だけではダメで、 集合C上に測度を定義する必要があります。 その状況は、後半の質問を考えるとハッキリします。 自然数の中で、7 で割り切れる数を A、 7 で割ると 1 または 2 あまる数を B とすると、 A, B の濃度はどちらもアレフ0 ですが、 A∪B から B を取り出す確率が 1/2 だとは 考え難いですね? 平面上で、半径 1 の円を A、 半径 10 の円を B とすると、 A, B の濃度はどちらもアレフ1 ですが、 これも、A∪B から B を取り出す確率が 1/2 とは 考え難いと思います。 あとは、「確率」の値が直感に沿うような 上手い測度が定義できるか? という問題になります。 どうなんでしょうね。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 蛇足の質問が有意義でした。 0から1の間の実数を集合Cとし、実数のうちの有理数が集合A,無理数が集合Bです。 Wikipediaによれば、 「実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。」ということですから、0から1の間にある実数も”ほとんど全て”が無理数というとになります。 実数の集合Cから任意の実数を選んだ時、それが無理数の集合Bである確率は直感的に1/2よりも大きいのですが、かといってその確率が1だと仮定すると、有理数を選択する確率が0ということになってしまうので、困った訳です。 測度という概念は初めて知りましたが、こいつを適当に定めることで、直感に反しない確率が決まるということですね。測度について勉強してみます。 一方の確率の概念ですが、どんな事象にも確率があるけれど、その値を求めることが困難なのか、あるはい場合によっては値が定まらない(=不定)という性質をもった確率も定義できるのでしょうか?

  • 回答No.2
noname#133363
noname#133363

前提がよく分からないんだけど、選ばれる要素の確率分布として、どんなのを考えてるんでしょう。 つまり、「任意」の意味が分からない。 ちなみに、一様分布は、標準の確率の枠組みでは、無理。

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質問者からのお礼

質問の仕方が悪かったかもしれません。 (ひょっとしてアレフの使い方を勘違いしているのかも、、、、) 0と1の間にある数は有理数と無理数に分けられます。 有理数は濃度0の無限集合で、無理数は濃度1の無限集合です。 有理数でありかつ無理数である数はありません(空集合)。 0と1の間で任意の数をひとつ選んだとき、その数が無理数である確率は計算できるでしょうか。 計算できる場合、その確率は1でしょうか、1/2でしょうか、それともそれ以外の確率でしょうか。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

すべて「アレフ」同士の関係が分かっていれば簡単. 「アレフ0×アレフ0」はどうなりますか?

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質問者からのお礼

早速に投稿ありがとうございます。 残念ながら私にとっては簡単じゃあないもんで、、、。 確率は計算可能ですか?

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