濃度に関するかなり初歩的な質問です

質問

集合位相入門(松坂和夫)のp69に次のような定理と証明が書いてありました。

[定理]
濃度m,nについて、
m≦n,n≦mならばm=n
[証明]
CardA=m,Card=nでなる集合ＡとＢをとれば、
m≦nであるから("≦"の定義より)、ＡからＢへの単射が存在し、
n≦mよりＢからＡへの単射が存在する。よって、ベルンシュタインの定理より、ＡとＢは対等(A～B)である。ゆえにm=nである。

また、

濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろう。

みたいな記述もあったのですが、

それなら(p56の(6.2)にもあるように)
同値類n、mの代表元Ａ、Ｂをとってきて、
それらが対等関係ならば同値類も等しいから、m=nとできると思いました。

[質問1]証明中の"ゆえにm=n"というのはこうゆうことでしょうか？

[質問２]"同値類"という言葉は、"類別"という用語と違って、"集合全体の集まり"を集合と見るか見ないかにかかわらず使用できる言葉ですよね？

どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.3

de_Raemon · ベストアンサー

＞"Aの濃度"と言えばこれは"Aの類(同値類)"ですが
＞"濃度m"と言えば、何なのでしょうか？
集合Aが与えられたとき、Aを基準にして"Aと対等な集合"の集合として同値類cardA
を構築できるのでcardAという表記ではAが"別格"扱いのイメージが強くでています。
しかし同値類cardAを一度作ってしまえば、cardAの元はAも含めてすべて"同格"です。
すべての元が同格という点を強調して特定の集合名が表にでてこないようにしたければ、
この同値類の名前を例えばpとでもすれば良いだけのことで、この場合"Aの濃度"cardAと
"濃度p"はどちらも内容的には同じです。Aがn個の元からなる有限集合の場合の例がp66
にあるので参照してみてください。

＞cardA=cardBの定義は
＞"Ａの類"の元と"Bの類"の元が一致。
＞それは代表元が等しいことさえ示せばok.
↑示すのは代表元が"等しい(＝)"ことではなく、代表元が"対等(～)"なことですね。

＞m=nの定義は何なのでしょうか？
上で書いたように"Aの濃度"という表記と"濃度m"という表記は見かけは違っていても、
どちらも"対等という同値関係で類別された同値類"なので扱い方は全く同じです。
だからm=nの定義はcardA=cardBの定義と同様にmとnからそれぞれ一個の元を
持ってきてその元が対等ならばm=nです。

＞集合全部の集まりを集合とするのは良くないのですよね？
これはあまり深く考えない方が良いと思います。
色々と不都合が生じるようですが、現時点では影響がないので・・・

お礼

回答ありがとうございますm(_ _)m
この手の質問はなかなか回答してくれる方も少ないので助かります！

＞↑示すのは代表元が"等しい(＝)"ことではなく、代表元が"対等(～)"なことですね

そのとおりです。補足を投稿して読み返したときにすぐ気付いたのですが・・申し訳ありません。

＞これはあまり深く考えない方が良いと思います。
＞色々と不都合が生じるようですが、現時点では影響がないので・・・
そうですね・・。もっと読み進めてから考えることにします。

毎回本当にありがとうございます。
感謝してもしきれません。

回答No.2

de_Raemon

＞証明中の"ゆえにm=n"というのはこうゆうことでしょうか？
そのとおりだと思います。

証明の流れは
＞ベルンシュタインの定理より、ＡとＢは対等(A～B)である。
ここでp66に書いてある定義により(これはp56の(6.2)を集合の集合に拡張したもの)
『A～B⇔cardA＝cardB』を経由して
＞ゆえにm=nである。
でよいと思います。

[質問２]ですが
同値類にわけることを類別というのだから、切り離して考えることはできないと思います。
二つの用語はセットで考えるべきです。また、二つの用語は集合に対して用いる概念なので
"集合全体の集まり"を集合と『見ない』ときには使用できないと思います。

お礼

すいません。(1)は忘れてください・・・。
改めて
(1)
"Aの濃度"と言えばこれは"Aの類(同値類)"ですが
"濃度m"と言えば、何なのでしょうか？

cardA=cardBの定義は
"Ａの類"の元と"Bの類"の元が一致。
それは代表元が等しいことさえ示せばok.

ですが
m=nの定義は何なのでしょうか？
ここがなんか一番の引っ掛かりな気がします、自分で・・・。

もしよろしければ、回答よろしくお願いしますm(_ _)m

補足

回答ありがとうございます。
難しく考えすぎているのかも知りません。
No.1さんへの補足に意味不明なことを書いてしまいました・・・。

(1)
m=nの定義とは、単に、それぞれの同値類(濃度)の元(集合)がすべて等しいことであり、それはp56より代表元が対等であることと同値・・・ですか？

(2)
同値類の定義には、集合Ａの各元aに対して、aRxであるようなx全体の集合だからですね！？
今はＡが"集合全部の集まり"に相当するのですよね。

でも、集合全部の集まりを集合とするのは良くないのですよね？
結局、濃度とは何？と聞かれてなんと答えればいいのか・・・。

回答No.1

naozou

回答１
同値類を持ち出さなくても、AとBに全単射が存在するので、m=nといってるだけです。濃度が等しいことの定義は集合Aと集合Bの間に全単射が存在することと定義されていませんでしたか？
（対等関係による同値類から初めても矛盾はないんでしょうが、素直に濃度の定義を使えばいいでしょう。）

あと、手元にその本がないので、本の記述が質問のとおりなのかどうかわかりませんが、質問の通りだとすると、用語が””で括られている理由わかりますか？（理由っていうか、著者の気持ち）

回答２
質問の意図と質問の後半が気になりますが、用語自体はどちらもつかえると思います。

補足

回答ありがとうございます。
＞同値類を持ち出さなくても、AとBに全単射が存在するので、m=nといってるだけです
これについて、少し補足させてくださいm(_ _)m

この本には、次のような記述がありました。
[1]AからBへの単射が存在するとき、cardA≦cardBと定める。
上の定義は、"Aの濃度""Bの濃度"に関する大小の定義であるが、なお厳密には"濃度自身"に関する大小の定義が必要である。そこで、濃度自身に関する大小の定義を次のように定める。
[2]m,nを２つの濃度とし、cardA=m,cardB=nとする。ＡからＢへの単射が存在すれば、m≦nとさだめる。
この定義については、これが濃度のみに対して矛盾なく定義されて、ＡやＢの取り方に
よらないことを確かめねばならない。すなわち
"cardA=m,cardB=nであるような、あるＡＢに対して、ＡからＢへの単射が存在すれば、cardA'=m,cardB'=nとなるいかなるＡ'Ｂ'に対しても、やはりA'からB'への単射が存在する"ことを、示さねばならない。
～証明は略～
以上に述べたことをまとめて、改めて濃度の大小の定義を述べよう。
[3]m,nを２つの濃度とする。Ａ,ＢをcardA=m,cardB=nとなる任意の集合とするとき、もしＡからＢへの単射が存在するならばm≦nとする。

これらの記述のあとで、質問文の定理を見たときに
「"Aの濃度"と"Bの濃度"が等しいことは定義されているけど、"濃度"と"濃度"が等しいことの定義はされてないから・・m=nってなに？」
と思いました。それで私は上の記述にならって、濃度自身の相等を
[4]m,nを２つの濃度とする。Ａ,ＢをcardA=m,cardB=nとなる任意の集合とするとき、もしＡからＢへの全単射が存在するならばm＝nとする。
のように定義するべきでは？と思いました。でもこう定義してしまうと
ベルンシュタインの定理よりこの定義は
[4']m,nを２つの濃度とする。Ａ,ＢをcardA=m,cardB=nとなる任意の集合とするとき、もしＡからＢへの単射が存在し、ＢからＡへの単射が存在ならばm＝nとする。
と同値であり、この定義はまさに、質問文の定理の言い換えにすぎないことになり、[定理]が[定義]になってしまって、マズイかな？と思いました・・。
そこで、同値類に目をつけました。
そもそも、濃度は同値類であるから、この同値類の代表元ＡＢを使えば、わざわざ[4]のようにm=nを定義せずとも、[4]を[定理]として証明できると思ったのです。それで同値類を持ちだしました。
AとBに全単射が存在するので、m=nというと、なんか定理をそのまま使ってて証明になってないように感じたのですが、違うのでしょうか？

＞用語自体はどちらもつかえると思います

濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。
この文の中にある"類別"の定義は
"集合Ａにおける同値関係ＲからＡの直和分割Ｍを作ることをＡのＲによる類別という"
となっていて、前提として集合Ａがないといけませんが、
今の場合、Ａは"集合全部の集まり"にあたり、"集合全部の集まり"を集合とみなすといろいろ不都合なことが起こりますよね！？
だから、類別ということばを濃度の話でも持ち出すのはすこし良くないと思いました。
ここで、もし同値類が、"集合全部の集まり"を集合と考えるか否かにかかわらず使えるなら、m=nの証明に同値類の話を使ってもいいなと思いました。

すいません。非常にわかりずらいとおもうのですが・・
回答よろしくお願いしますm(_ _)m