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「無理数全体の集合Pについて、|P|>N0(アレフゼロ)を示せ」

「無理数全体の集合Pについて、|P|>N0(アレフゼロ)を示せ」 という問題がわかりません。解き方を教えて下さい。 教科書には実数の集合の濃度がアレフゼロより大きいことの証明が載っていて、それは無限小数に関する対角線論法を使っていたので、同じ方法で証明しようとしたのですが、その場合、対角線論法により作られた新しい無限小数が無理数に含まれることを示せなかったので挫折しました。(当然実数には含まれるのですが・・・)この方法でできるのでしょうか?それとも全く違った方法を使うのでしょうか?  よろしくお願いします。

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  • funoe
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どの程度の細かさで示したいのかよくわかりませんが・・・。 1) 無理数全体の集合Pが可算であるとすると、 有理数全体の集合Qが可算であることから(教科書に書いてあるよね?) R=P∪Q も可算集合となる。(証明要?教科書に書いてあるよね?) これはRが非可算であることに反する。 以上よりPは非可算。 従って |P|>|Q|   (非可算なら可算より大きいのはOK?教科書に書いてあるよね?)   なんて、簡単に言っちゃうのもありだし、 2) ベルンシュタインの定理を用いて、R~Pを示す。 PからRへの単射の存在は自明なので(恒等写像をとればよい) RからPへの単射の存在を示す。 区間[0,1)から、この区間内の無理数全体P’への単射の存在を示す。 x→ x/2 (x無理数のとき) x→ 1/2+x/√5 (xが有理数のとき) とすればこの写像は、[0,1)からP’への単射。 従って、[0,1)~P’  (ベルンシュタインによる) これを繰り返せば(r∈Rの小数部分に注目して反復!) R~P 以上よりPは非可算。 従って |P|>|Q| なんてのも手作り感があって良いよね。

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>この方法でできるのでしょうか? 要は循環少数にならないように「対角線」が取れるか?ということでしょ? できそうな気もするけど試してない。

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