集合 濃度の問題

質問

集合・位相の初心者です。
以下の問題の意味がよくわかりません。

問．Xを小数点以下の各桁の値が２か３か４であるような
　　小数全体の集合とするとき、｜X|＞｜N｜を証明せよ。

質問(1)小数点以下の各桁の値が２か３か４であるような小数
　　　とは、例えばどんな小数ですか。
　　(2)証明の仕方は、1)｜X|≧｜N|が成立する。2)｜X|≠｜N|
　　　である。を示せばよいですか。
　　　また、対角線論法を使いますか。

レベルの低い質問かもしれませんが、いろいろ教えていただけたら
助かります。お願いします。

回答No.4

funoe · ベストアンサー

再度ＮＯ２です。

>小数点以下のある桁が4になるものは無視しても大丈夫なのでしょうか。

RからＸの「中への単写」が存在することがいえれば、｜Ｒ｜≦｜Ｘ｜がいえるので、
Ｘの全ての元に対応させる必要はありません。
（Xへの全写が求められているわけではないのです。
　全単写があれば対等｜Ｒ｜＝｜Ｘ｜がいえますが、ここではそこまでを示していません）

つまり、小数点以下が２と３のものだけでも、Ｒと同等であることがいえるので、
まして、小数点以下４のものを加えたら、もっと、それより大きい（あるいは同等）といえるわけです。

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zoku0855さんが「別解」としているものは、まさに対角線論法の基本形なので
むしろこの問題の回答としては「模範解答」です。
小生の解法は、「Rの濃度はNより真に大きい」「ＡからＢの中への単写があればBの濃度はＡより大きい」
などの良く知られた知識を組み合わせた簡易的なものでむしろ「別解」と呼ぶべきものです。

＊）ただし、小生と同じく、整数部を０に限定した証明になっています。０．＊＊＊に限定せず、
　　Ｎ.＊＊＊として記述すればＯＫのようです。

お礼

大変親切に、いろいろ教えていただいてありがとうございます。
funoeさんのおかげで、濃度の理解がだいぶ深まりました。

回答No.3

funoe

ＮＯ２です。

勝手に、Ｘに含まれる数の整数部が０であると勘違いしました。
[0,1]に限定するのは余計なことでした。

単純に、実数を２進法で表し、その小数以下の部分の０を２に、１を３に置き換える写像とすれば、ＲからＸの中への単写になります。

以下は同様です。

補足

回答ありがとうございます。

分かりやすい考え方だと思いました。
この場合、小数点以下のある桁が4になるものは
無視しても大丈夫なのでしょうか。

また、別解として、｜X|≠｜N|を示すために、
NからXへの全単射ｇが存在するとして、Xの元を
g(n)＝0.x_1^n x_2^n x_3^n ・・・
と無限小数で表して、
このときに、x_i^n は２か３か４とする、と定めて、

各桁で違う数字を選ぶように、
ｙ＝0.y_1 y_2 y_3 ・・・
とおいて、yはすべてのｇ(n)と異なるようにもっていく
方法を考えたのですが・・・。

長くなってすみません。わかりにくかったら気にしないでください。

回答No.2

funoe

[0、１]の実数の濃度は、連続の濃度｜R｜ですね。

この区間の実数を、2進法で小数表記し、
小数点以下の０を２に、１を３に置き換える対応（写像）を考えれば、
この写像は、[0,1]からXの中への単写になるので、|R|≦|X|がわかります。
あとは、|N|<|R|であることから、|N|＜|X|　がわかります。

なんてのは、いかが？

回答No.1

rinkun

(1)
0.222222...
0.333333...
0.444444...
0.234234...
みたいなの。0も許されないなら有限小数もなしだね。
(2)
対角線論法以外では無理だと思う。

補足

回答ありがとうございます。

すると、例えば、
a1＝0.222222...
a2＝0.333333...
a3＝0.444444...
a4＝0.234234...
：　　　：
として、
a＝0.4323…
のように対角線のところで違う数字を選び、
a≠an
となる。
こういう感じでしょうか。