対角化の問題

質問

対角化について考えています。(n≧2)
(a)B^n=Aが成立するとき Aが対角化可能⇒Bが対角化可能
(b)B^n=Aが成立するとき Bが対角化可能⇒Aが対角化可能

以上(a),(b)について成立するのでしょうか？証明、もしくは反例をよろしくお願い致します。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

Ｂが対角化可能とする。Bを対角行列にする基底変換行列をSとする（Ｓは必ず正則）。

　　　Ｓ^(-1)ＢＳ・Ｓ^(-1)ＢＳ・ ・・・ ・Ｓ^(-1)ＢＳ＝Ｓ^(-1)Ｂ^nＳ＝Ｓ^(-1)ＡＳ

が成り立つ。個々のＳ^(-1)ＢＳは対角行列なので、Ｓ^(-1)ＡＳが対角行列になるのは明らか。これは、ＡがＢと同じ基底変換で対角化できる事を意味するので、(b)成立。

　逆にＡが対角化可能とすると、Ａの固有空間の次元は全て1。xを固有値μに属するＡの固有ベクトルとする。Ａ＝Ｂ^nなので、ＡとＢは明らかに可換。よって、

　　Ｂ・Ａx＝Ｂ(μx)＝μ(Ｂx)
　　Ｂ・Ａx＝Ａ・Ｂx＝Ａ(Ｂx)

が成り立ち、

　Ａ(Ｂx)＝μ(Ｂx)

が言える。これはＢxが、固有値μに属するＡの固有ベクトルである事を意味する。ところがＡの固有空間の次元は必ず1なので、Ｂxはxに平行で、Ｂx＝λxが成り立つ。これはxが、固有値λに属するＢの固有ベクトルという事。従ってＡとＢは全ての固有ベクトルを共有する。

　Ａを対角化する基底変換行列は、Ａの全ての固有ベクトルを縦ベクトルとして並べた行列Ｓで、Ｓ^(-1)ＡＳによってＡは対角化される。

　同様にＢを対角化する基底変換行列は（あるとすれば）、Ｂの全ての固有ベクトルを縦ベクトルとして並べた行列Ｔで、Ｔ^(-1)ＢＴによってＢは対角化される。

　ＡとＢは全ての固有ベクトルを共有するので、Ｔ＝Ｓとできる。よってＢは対角化可能で、(a)成立。

お礼

＞逆にＡが対角化可能とすると、Ａの固有空間の次元は全て1。
この部分ですが、対角化可能条件は「固有値の重複度と、固有空間の次元が等しいということ」だと思います。Aの固有値がすべて異なる→重複度1とは限らないのではないでしょうか。

回答No.2

noname#221368

#1です。

＞Aの固有値がすべて異なる→重複度1とは限らない
の意図は、「Aの固有値がすべて異ならない→重複度1とは限らない」ですよね？。確かに前回の記述は不正確でした(^^;)。

　用語の問題（方言）があるのでここでは、(Ａ－λjＥ)^m・x＝0を満たすベクトルx全体を、固有値λjに属する根空間Ｒjと呼びます。Ａはp次とします。

　根空間Ｒjについては、dim(Rj)＝mが成り立ちます。ここでmはλの重複度です。一般にRには、長さの不定性を除いて固有ベクトルが必ず1本は存在しますが、m本の独立な固有ベクトルが存在するとは限りません。m本の独立な固有ベクトルがなければ、Ａは対角化不可能です。Ｒjの中にm本の独立な固有ベクトルがあれば、根空間＝固有空間となり、「固有値の重複度と、固有空間の次元が等しい」ことになり対角化可能です。

　しかし次の事は言えます。全空間をＶとして、異なる固有値に属する固有ベクトル，根ベクトルは互いに独立なので、

　　Ｖ＝Ｒ1(＋)Ｒ2(＋)・・・(＋)Ｒj(＋)・・・(＋)Ｒp-m+1　　　(1)
　　※(p-m+1)個の和．dim(Ｖ)＝p

とＶを直和分解できます。ここでＲ1，Ｒ2，・・・は簡単のため、固有値λ1，λ2，・・・に属する次元1の固有空間、Ｒjのみ次元mの根空間とします。(＋)は直和の意味です。

　そしてＲjが固有空間であるときには、Ｒjの中から独立なm本の固有ベクトルを任意に選んで（Ｒjの中身は全部固有ベクトルだから可能）、Ｒj自身を次元1の部分空間で直和分解できる事になります。

　　Ｒj＝Ｒj1(＋)Ｒj2(＋)・・・(＋)Ｒjm　　　(2)

　Ｒjiは、選んだ固有ベクトルが張る、次元1の部分空間です。(2)を(1)に代入し、番号をつけかえてやれば、

　　Ｖ＝Ｒ1(＋)Ｒ2(＋)・・・(＋)Ｒj(＋)・・・(＋)Ｒp　　　(3)
　　※p個の和．dim(Ｖ)＝p

です。ここでＲ1～Ｒpは全て次元1で、互いに独立な固有ベクトルが張る部分空間です。Ｒjの中には「定義から固有空間と呼ばないもの」も含まれますが、実質は普通の固有空間（次元1）による直和分解と同じです。

　(3)に対応する基底（固有ベクトル基底）に移れば、Ａの対角化が得られます。

　逆にＡが対角化可能なら、(3)が可能という事なので、「Ａの固有空間の次元は全て1」って書いちゃいました・・・(^^;)。