【高校数学】順列 等式を満たす自然数の組の個数

質問

質問です。

Q)等式 x+2y+3z=11　を満たす自然数の組(x,y,z)は何組あるか。

z=1,z=2で場合分けできて、　答えは5組になるのですが、
そもそもなぜz=1、2で場合分けできるのかがわかりません。
そこからはわかるのですが…

解説お願いしますv

回答No.1

HIROWI02 · ベストアンサー

塾講師をしているものです

それは簡単です。

x≦11を満たす可能性⇒{1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11}…(1)

2y≦11を満たす可能性⇒{1.2.3.4.5}…(2)

3z≦11を満たす可能性⇒{1.2}…(3)

この場合は数が最も少ない(3)から考えていくのです。

つまり、

最も数が少ないZ＝1.2の場合

(x.y.z)＝(2.3.1)、(4.2.1)、(6.1.1)、(1.2.2)、(2.1.2)

ができるのです。

お礼

なるほど...
納得です。確かに単純といえば単純ですねw
ありがとうございますv

回答No.4

noname#180442

解き方は、回答された皆さんのおしゃる通りです。ただ、次のように z を移項すると見通しが良いかと思います。

　x + y = 3(3 - z) + 2

お礼

おお、わかりやすいです。
参考にします、ありがとうございますv

回答No.3

yyssaa

そもそもなぜz=1、2で場合分けできるのかがわかりません。
＞z≧3ではx+2y≦2となり、これを満たす自然数x,yは無いので、
zは1又は2しかありえず、従ってz=1、2で場合分けできることに
なります。
　なお、xで場合分けすれば
x=1のとき2y+3z=10を満たすy,zを探し、
x=2のとき2y+3z=9を満たすy,zを探し、
x=3のとき2y+3z=8を満たすy,zを探し、
x=4のとき2y+3z=7を満たすy,zを探し、
x=5のとき2y+3z=6を満たすy,zを探し、
x=6のとき2y+3z=5を満たすy,zを探すことになり、
又、yで場合分けすれば
y=1のときx+3z=9を満たすx,zを探し、
y=2のときx+3z=7を満たすx,zを探し、
y=3のときx+3z=5を満たすx,zを探すことになり、
結局zで場合分けするのが一番簡単ということでしょう。

お礼

zが一番楽にできるんですね。
ありがとうございますv

回答No.2

HIROWI02

すみません。

3z≦11を満たす可能性⇒{1.2}…(3)

ではなく

3z≦11を満たす可能性⇒{1.2.3}…(3)

が正しいです。