等式

質問

x,yを１桁の自然数とるとき、等式(10+x)/(10x+y)=（１/y)を満たす(x,y)の組みは何通りあるのでしょう？

という問題なのですが、これはどのようにもとめるのですか？
おしえてください。

回答No.6

ryn · ベストアンサー

与えられた式を変形して
　xy - 10x + 9y = 0
⇔(x + 9)(y - 10) = -90

ここで x に1桁の自然数を代入して
x+9 が 90 の約数になるような
ｘを探せばよいと思います。
(そうでないと y-10 が整数にならないので)

あるいは、もう少し変形して
　x + 9 = -90/(y-10)
とすると
　10≦ x + 9 ≦18
より
　10≦ -90/(y-10) ≦18
⇔10y - 100 ≧ -90 ≧ 18y -180　（∵ y-10 < 0 ）
⇔ 1 ≦ y ≦ 5
となるので、ｙを１から５まで調べるだけで済みます。

補足

ありがとうございます。
５通りですか？
みなさんの回答がばらばらなので、誰が正しいのか迷ってしまいます。

回答No.9

fushigichan

＃８です。x+9がマイナスの時を書いていませんでした。
表を訂正します。

x+9　　　y-10　　　x　　　y
---------------------------------
１　　　－９０　　－８←不適（ｘの値がマイナス）
２　　　－４５　　－７←不適
３　　　－３０　　－６←不適
６　　　－１５　　－３←不適
９　　　－１０　　０←不適
１０　　－９　　　１　　　１　　OK
１５　　　－６　　６　　４　　　OK
１８　　　－５　　９　　５　　　OK
３０　　　－３　　２１　　７　　←ｘが２桁なのでダメ
４５　　　－２　　３６　　８　　←これもｘが２桁でダメ
９０　　　－１　　８１　　９　　←これもｘが２桁

x+9　　　y-10　　　x　　　y
--------------------------------
－１　　　９０　　－１０←ｘがマイナスなのでダメ
－２　　　４５　　－１１←ｘがマイナスなのでダメ
－３　　　３０　　－１２←ｘがマイナスなのでダメ
－６　　　１５　　－１５←（以下同じ）
－９　　　１０　　－１８
－１０　　　９　　－１９
－１８　　　５　　－１４
ー３０　　　３　　－３９
－４５　　　２　　－５４
－９０　　　１　　－９９
いずれの場合も、ｘがマイナスになってしまうので不適。

よって、正しい(x,y)の組み合わせは
(x,y)=(1,1)(6,4)(9,5)だけになりますね。

回答No.8

fushigichan

ai402さん、こんにちは。
ちょっと最初からやってみます。

まず、条件として、x,yは一桁の整数なので、
１≦x,y≦９、x,yは整数

＞(10+x)/(10x+y)=（１/y)

y(10+x)=10x+y
xy+10y-10x-y=0
xy-10x+9y=0
(x+9)(y-10)=-90

となるので、かけてー９０になる組み合わせを表で考えていきましょう。

x+9　　　y-10　　　x　　　y
---------------------------------
１　　　－９０　　－８←不適（ｘの値がマイナス）
２　　　－４５　　－７←不適
３　　　－３０　　－６←不適
６　　　－１５　　－３←不適
９　　　－１０　　０←不適
１０　　－９　　　１　　　１　　OK
１５　　　－６　　６　　４　　　OK
１８　　　－５　　９　　５　　　OK
３０　　　－３　　２１　　７　　←ｘが２桁なのでダメ
４５　　　－２　　３６　　８　　←これもｘが２桁でダメ
９０　　　－１　　８１　　９　　←これもｘが２桁

となるので、正しい(x,y)の組み合わせは
(x,y)=(1,1)(6,4)(9,5)
の３とおりになると思います。

回答No.7

ryn

> ５通りですか？
いえ。
最後の１行は１から５まで調べればよいというだけなので、
確認をしなければいけません。

最終的な答えは
　(x,y) = (1,1) , (6,4) , (9,5)
の３通りです。

回答No.5

adinat

♯2&♯3です。何度もすみません。

♯4さんのおっしゃる通りだと思います。y(x-1)=40のケースを真面目に計算してませんでした。y<xなのでy=5,x-1=8すなわちy=5,x=9の三つ目の答えがありますね。あと♯4さんの方法の方がわかりやすいと思います。では。

回答No.4

capote

(10+x)y=10x+y
(9+x)y=10x
　　　y=10x/(9+x)

9+x=aとおく

　y=(10a-90)/a

9<a<19より

　a=10, 15, 18

x=a-9だから

　x=1, 6, 9
　y=1, 4, 5

補足

ありがとうございます。
３通りですか？
みなさんの回答がばらばらなので、誰が正しいのか迷ってしまいます。

回答No.3

adinat

♯2です。嘘を書きました。

2番目の候補なんですが、10(y-x)=-10ともならないと(*)は成り立たないので、このときy=x-1でないとダメです。それでこれも不成立。

さらにまだ候補はありますね。y(x-1)=20の場合ですが、これはy=4,x-1=5もしくはy=5,x-1=4。しかも(*)のためにはy-x=-2でないとダメですね。これを満たすのはy=4,x=6です。

さらにy(x-1)=30のケースを考えます。y=6,x-1=5かy=5,x-1=6ですが、これはともにy-x≧0となって(*)は成立しません。

y(x-1)=40の場合も無理です。

結局x=y=1,x=6,y=4の二通りが正しかったです。

回答No.2

adinat

とりあえず分母を払って整理すると
10(y-x)+y(x-1)=0…(*)
となるので、これからy(x-1)が10の倍数になります。
y(x-1)≧0なのでy-x≦0でないと(*)は成立しません。
まず第1候補はy(x-1)=0で、このときx=1,y=1で成立。
次にy(x-1)=10ですが、これはy=2,x-1=5もしくは、y=5,x-1=2のときです。y-x≦0の条件を満たすのは前者のみです。

結局x=y=1か、x=6,y=2の2通りですね。

回答No.1

taknt

１桁の自然数ということは １から９まででしょうね。

試行する回数が少ないので、すべてのパターンを入れてみたらいいでしょう。

ま、少ないといったも ８８回ですが。