整数問題

質問

（問い）ｘ、ｙについての不定方程式９ｘ＋１１ｙ＝ｎがちょうど１０個の負でない整数解をもつような自然数ｎの中で最小のものを求めよ。

９ｘ＋１１ｙ＝ｎ（(1)）ｘ＝５ｎ、ｙ＝－４ｎが(1)の整数解の１つだから９（ｘ－５ｎ）＝－１１（ｙ＋４ｎ）
９と１１は互いに素だから、ｙ＋４ｎ＝４ｋ、ｘ－５ｎ＝－１１ｋ
すなわち、ｘ＝－１１ｋ＋５ｎ、ｙ＝９ｋ－４ｎ（ｋは整数）
ｘ、ｙについて、ｘ≧０、ｙ≧０だから、－１１ｋ＋５ｎ≧０、９ｋ－４ｎ≧０。
よって、４／９ｎ≦ｋ≦５／１１ｎ（(2)）
(1)に０以上の整数解が１０個あるとき、(2)の不等式を満たすｋが１０個存在する。５／１１ｎー４／９ｎ＝ｎ／９９より、
１０≦ｎ／９９＜１１（★誤答正しくは９≦ｎ／９９＜１０）
としてしまいました。
（疑問点）
例えば１／２≦ｘ≦３／２ならば整数は１個で差は１と考えたのですが、間違えてしまいました。なぜいけないのでしょうか?

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
例として考えたのは「単純化」してのことだと思いますが、
それだと「間隔」に対する考慮が漏れてしまいます。

たとえば、数直線上に10個の整数となる点をプロットすると、
その端から端までの間隔はどれだけになりますか？
その端か、その外側に4n/9や5n/11なる点が存在することになります。

ということを一言で言ってしまえば、
「数直線上で植木算を考えてみて」ということになりますね。

お礼

ありがとうございました